Matematyka.pl

W przestrzeni \(\displaystyle{ l ^{\infty}}\) dane są trzy zbiory:

\(\displaystyle{ A_1=\left\{(x_n) \in l^{\infty}: sup |x_n|<1 \right\}}\), \(\displaystyle{ n \in N}\).
\(\displaystyle{ A_2=\left\{(x_n) \in l^{\infty}: \forall x\in N |x_n|<1 \right\}}\)
\(\displaystyle{ A_3=\left\{(x_n) \in l^{\infty}: \forall x\in N |x_n| \le 1 \right\}.}\)
Czy zbiory te są różne? Znaleźć wnętrze int(\(\displaystyle{ A_i}\)) i domknięcie \(\displaystyle{ \overline{A_i}}\) każdego z nich.

Jak się rozwiązuje takie zadania?

Zauważ, że \(\displaystyle{ sup [0,1) = 1}\).

No i co z tego wynika?

Nie wiem czy dobrze to rozkminiłem, ale z uwagi @Spektralny wynika, że \(\displaystyle{ \sup A_2=1}\), a skoro \(\displaystyle{ \sup A_1<1}\), to \(\displaystyle{ A_1 \subset A_2}\). \(\displaystyle{ \sup A_3 = 1}\), ale elementy ciągów występujących w tym zbiorze mogą być równe \(\displaystyle{ 1}\), dlatego \(\displaystyle{ A_2 \subset A_3}\). Dlatego \(\displaystyle{ A_1 \subset A_2 \subset A_3.}\) Jeśli coś namieszałem, to niech ktoś poprawi.

A w jaki sposób znaleźć wnętrza i domknięcia tych zbiorów?