Funkcja mierzalna

[patricia__88]

Funkcję \(\displaystyle{ f:E \rightarrow \overline{\mathbb{R}}}\) nazywamy funkcją merzalną względem \(\displaystyle{ \sigma-\textrm{ciała} \ A}\), jeżeli \(\displaystyle{ \forall a\in\mathbb{R} \ \{x\in E: \ f(x)>a\}\in A}\)

Mam taką funkcję: \(\displaystyle{ g(x)=\left\{\begin{array}{cl} -1 & \text{dla} \ x\in \left[0,\frac{1}{4}\right) \\ \ 1 & \text{dla} \ x \in \left[\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right) \\ \ 0 & \text{dla } x \in \left[\frac{1}{2},1\right] \end{array}}\)

I odpowiedź jest taka:
dla \(\displaystyle{ a \ge 1, \ \{x\in X: \ g(x)>a\}=\emptyset \in A}\)
dla \(\displaystyle{ ain [0,1), {xin X: g(x)>a}=left[frac{1}{4},frac{1}{2}
ight)
otin A}\)
dla \(\displaystyle{ a \in [-1,0), \ \{x\in X: \ g(x)>a\}=\left[\frac{1}{4},1\right] \in A}\)
dla \(\displaystyle{ a< -1, \ \{x\in X: \ g(x)>a\}=\left[0,1\right] \in A}\)

Wynika z tego, że funkcja \(\displaystyle{ g}\) nie jest A-mierzalna względem \(\displaystyle{ \sigma-}\)ciała, jednak nie rozumiem dlaczego przedział \(\displaystyle{ left[frac{1}{4},frac{1}{2}
ight)}\) nie należy do \(\displaystyle{ A}\)

[szw1710]

Najpierw musisz konkretnie określić to sigma-ciało. Twoja funkcja jest tzw. funkcją prostą, więc jest mierzalna względem sigma-ciała zbiorów borelowskich. A zatem jakim sigma-ciałem jest Twoje \(\displaystyle{ A?}\)

[patricia__88]

No tak zapomniałam o tym, \(\displaystyle{ A}\) oznacza rodzinę, która składa się ze wszystkich zbiorów należących do \(\displaystyle{ A_1}\) oraz wszystkich zbiorów postaci \(\displaystyle{ \left[0,\frac{1}{2}\right) \cup C}\), gdzie \(\displaystyle{ C\in A_1}\)
\(\displaystyle{ A_1}\) oznacza rodzinę wszystkich mierzalnych w sensie Lebesgue'q podzbiorów przestrzeni \(\displaystyle{ \left[\frac{1}{2},1\right]}\)

[szw1710]

Przede wszystkim Twoim zadaniem jest wykazanie, że \(\displaystyle{ A}\) rzeczywiście jest sigma-ciałem. Jako wskazówkę podam, że zbiór \(\displaystyle{ B\in A_1\iff}\) istnieje zbiór mierzalny \(\displaystyle{ D\subset\RR}\) taki, że \(\displaystyle{ B=D\cap\left[\frac{1}{2},1\right].}\) Jeśli to pokażesz, sama dojdziesz dlaczego.

[patricia__88]

czyli mam pokazać, że \(\displaystyle{ \left[\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)=D \cap \left[\frac{1}{2},1\right]}\)?
Ale taki zbiór \(\displaystyle{ D}\) nie istnieje.

[Dasio11]

jednak nie rozumiem dlaczego przedział \(\displaystyle{ left[frac{1}{4},frac{1}{2}
ight)}\) nie należy do \(\displaystyle{ A}\)

\(\displaystyle{ $ left[frac{1}{4},frac{1}{2}
ight) $}\) nie jest podzbiorem \(\displaystyle{ $ \left[ \frac{1}{2}, 1 \right] ,$}\) więc

\(\displaystyle{ $left[frac{1}{4},frac{1}{2}
ight)
otin A_1 $,}\)

oraz

\(\displaystyle{ $ left[frac{1}{4},frac{1}{2}
ight) subsetneq left[ 0, frac{1}{2}
ight) subseteq left[ 0, frac{1}{2}
ight) cup C $}\)

dla dowolnego \(\displaystyle{ C \in A_1,}\) więc \(\displaystyle{ $ left[frac{1}{4},frac{1}{2}
ight) $}\) nie jest też postaci \(\displaystyle{ $ left[ 0, frac{1}{2}
ight) cup C $.}\) Dlatego

\(\displaystyle{ $ left[frac{1}{4},frac{1}{2}
ight)
otin A $.}\)

czyli mam pokazać, że \(\displaystyle{ \left[\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)=D \cap \left[\frac{1}{2},1\right]}\)?

Nie. Pokazać, że \(\displaystyle{ A_1}\) składa się ni mniej ni więcej, tylko ze zbiorów postaci

\(\displaystyle{ $ D \cap \left[ \frac{1}{2}, 1 \right] $}\)

dla mierzalnych \(\displaystyle{ D.}\)

[patricia__88]

\(\displaystyle{ $ left[frac{1}{4},frac{1}{2}
ight) $}\) nie jest podzbiorem \(\displaystyle{ $ \left[ \frac{1}{2}, 1 \right] ,$}\) więc

\(\displaystyle{ $left[frac{1}{4},frac{1}{2}
ight)
otin A_1 $,}\)

No dobrze, ale \(\displaystyle{ \left[\frac{1}{4},1\right]}\) też nie jest podzbiorem \(\displaystyle{ $ \left[ \frac{1}{2}, 1 \right] ,$}\), a jednak \(\displaystyle{ \left[\frac{1}{4},1\right] \in A}\)

[Dasio11]

Tu akurat nie wiem, czemu \(\displaystyle{ $ \left[ \frac{1}{4}, 1 \right] \in A .$}\)