Szereg zbieżny bezwzględnie jest zbieżny (p. Banacha)

[Ptaq666]

Udowodnić, że w przestrzeni Banacha obowiązuje implikacja jak w temacie. Nie za bardzo wiedziałem jak za to się zabrać. Napisałem coś takiego:

Niech ciąg \(\displaystyle{ v_n\inV}\), gdzie V to przestrzeń Banacha.

Z definicji zbieżności szeregu, ciąg sum częściowych ma być ciągiem Cauchy'ego:
\(\displaystyle{ \forall_{\varepsilon > 0} \exists_{n_0 \in N} \forall_{n\geqslant n_0} \forall_{k\in N} \left \vert \sum_{i=n}^{n+k} v_i \right \vert < \varepsilon}\)

W takim razie ciąg zbieżny bezwzględnie spełnia:
\(\displaystyle{ \sum_{i=n}^{n+k} ||v_i|| < \varepsilon \\
\left\vert\left\vert\sum_{i=n}^{n+k} v_i \right\vert\right\vert \leq \sum_{i=n}^{n+k} ||v_i|| < \varepsilon \\}\)

I teraz czy mógłbym już powiedzieć, że nierówność \(\displaystyle{ \left\vert\left\vert\sum_{i=n}^{n+k} v_i \right\vert\right\vert < \varepsilon}\) to warunek na to, że ciąg \(\displaystyle{ v_n}\) jest ciągiem Cauchy'ego, a w przestrzeniach Banacha wszystkie ciągi Cauchy'ego są zbieżne?

[szw1710]

Powyżej właśnie wykazałeś, że ciąg o wyrazach \(\displaystyle{ S_n=\sum_{i=1}^nv_i}\) jest ciągiem Cauchy'ego, a więc jest zbieżny.