przestrzenie Hilberta, równoważność norm

[Dumel]

Zadanie z zeszłorocznego egzaminu z funkcjonalnej, nie mogę sobie z nim poradzić:

W przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ H}\) dane są dwa iloczyny skalarne \(\displaystyle{ \left\langle \cdot,- \right\rangle_1}\) oraz \(\displaystyle{ \left\langle \cdot,- \right\rangle_2}\) oraz dwa odwzorowania liniowe \(\displaystyle{ R_i:H \rightarrow H, \ i=1,2}\) takie, że:
(1) \(\displaystyle{ (H,\left\langle \cdot,- \right\rangle_i), \ i=1,2}\) są przestrzeniami Hilberta
(2) \(\displaystyle{ R_1}\) jest ciągłe i injektywne względem normy \(\displaystyle{ ||.||_1}\) zadanej przez \(\displaystyle{ \left\langle \cdot,- \right\rangle_1}\)
(3) \(\displaystyle{ R_2}\) jest ciągłe względem normy \(\displaystyle{ ||.||_2}\) zadanej przez \(\displaystyle{ \left\langle \cdot,- \right\rangle_2}\)
(4) \(\displaystyle{ \left\langle R_1x,y \right\rangle_1=\left\langle R_2x,y \right\rangle_2}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y \in H}\)

Wykazać równoważność norm \(\displaystyle{ ||.||_1}\) i \(\displaystyle{ ||.||_2}\)

może do czegoś się przyda fakt, który udało mi się wykazać, a mianowicie:

Ukryta treść:    

równoważność norm \(\displaystyle{ x \rightarrow ||R_ix||_j}\) gdzie \(\displaystyle{ i,j \in \{1,2 \}}\)

[brzoskwinka1]

Nazwijmy normy \(\displaystyle{ p, v}\) zgodnymi jeżeli zachodzi implikacja \(\displaystyle{ p(x_n -g ) \rightarrow 0 \wedge v(x_n - l) \rightarrow 0 \Rightarrow g=l.}\)
Jeżeli normy \(\displaystyle{ p,v}\) są zgodne i zupełne na przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ X}\) to są równoważne ( dowód wynika z twierdzenia o wykresie domkniętym ).
Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ ||\cdot ||_1 , ||\cdot ||_2}\) nie są równoważne, wówczas nie są zgodne. Zatem istnieje ciąg \(\displaystyle{ x_n \in X}\) oraz \(\displaystyle{ 0 \neq g\in X}\) takie, że \(\displaystyle{ ||x_n -g||_1 \rightarrow 0 \wedge ||x_n ||_2 \rightarrow 0}\) zatem
\(\displaystyle{ 0\neq ||R_1 g ||_1^2 = \lim_{ n\to \infty} (R_1 x_n , R_1 g )_1= \lim_{ n\to \infty } (R_2 x_n , R_1 g)_2 =( 0, R_1 g )_2=0 .}\)
Sprzeczność.