W przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ H}\) dane są dwa iloczyny skalarne \(\displaystyle{ \left\langle \cdot,- \right\rangle_1}\) oraz \(\displaystyle{ \left\langle \cdot,- \right\rangle_2}\) oraz dwa odwzorowania liniowe \(\displaystyle{ R_i:H \rightarrow H, \ i=1,2}\) takie, że:
(1) \(\displaystyle{ (H,\left\langle \cdot,- \right\rangle_i), \ i=1,2}\) są przestrzeniami Hilberta
(2) \(\displaystyle{ R_1}\) jest ciągłe i injektywne względem normy \(\displaystyle{ ||.||_1}\) zadanej przez \(\displaystyle{ \left\langle \cdot,- \right\rangle_1}\)
(3) \(\displaystyle{ R_2}\) jest ciągłe względem normy \(\displaystyle{ ||.||_2}\) zadanej przez \(\displaystyle{ \left\langle \cdot,- \right\rangle_2}\)
(4) \(\displaystyle{ \left\langle R_1x,y \right\rangle_1=\left\langle R_2x,y \right\rangle_2}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y \in H}\)
Wykazać równoważność norm \(\displaystyle{ ||.||_1}\) i \(\displaystyle{ ||.||_2}\)
może do czegoś się przyda fakt, który udało mi się wykazać, a mianowicie:
Ukryta treść: