Mam problem z tym zad. bo w ogóle nie wiem, o co tu chodzi. Proszę pomóc.
\(\displaystyle{ F}\) oznacza rodzinę funkcji o wartościach rzeczywistych określonych na przestrzeni \(\displaystyle{ X}\).
Przez \(\displaystyle{ p(F)}\) oznaczmy pierścień generowany przez rodzinę \(\displaystyle{ F}\) , zaś przez
-----
\(\displaystyle{ P(F)}\) domknięcie rodziny \(\displaystyle{ P(F)}\) w topologi zbieżności jednostajnej (względem stosowanej przestrzeni funkcyjnej). Sprawdzic czy:
-----------
\(\displaystyle{ x\in P(\{1,x^2\})}\), gdy \(\displaystyle{ X=[0,1/2]}\).
Rodzina funkcji.
Rodzina funkcji.
Ostatnio zmieniony 23 wrz 2019, o 12:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Re: Rodzina funkcji.
Spróbujmy zastosować tutaj twierdzenie Stone'a-Weiestrassa, które mówi że każdy podpierścień z jedynką algebry \(\displaystyle{ C(X)}\) funkcji ciągłych na przestrzeni zwartej \(\displaystyle{ X}\), który rozdziela punkty jest gęsty jednostajnie.
Rozważamy tutaj pierścień z jedynką generowany przez funkcję kwadratową (oraz \(\displaystyle{ X=[0, 1/2]}\)). Dla różnych punktów \(\displaystyle{ p,q\in [0,1/2]}\) mamy oczywiście \(\displaystyle{ p^2 \neq q^2}\), a więc mamy już oddzielanie przez sam generator. Z twierdzenia Stone'a-Weierstrassa wynika, że domknięciem rozważanego pierścienia jest cała algebra funkcji ciągłych, do której funkcja identycznościowa \(\displaystyle{ f(x) = x}\) zdecydowanie należy.
Rozważamy tutaj pierścień z jedynką generowany przez funkcję kwadratową (oraz \(\displaystyle{ X=[0, 1/2]}\)). Dla różnych punktów \(\displaystyle{ p,q\in [0,1/2]}\) mamy oczywiście \(\displaystyle{ p^2 \neq q^2}\), a więc mamy już oddzielanie przez sam generator. Z twierdzenia Stone'a-Weierstrassa wynika, że domknięciem rozważanego pierścienia jest cała algebra funkcji ciągłych, do której funkcja identycznościowa \(\displaystyle{ f(x) = x}\) zdecydowanie należy.
Ostatnio zmieniony 23 wrz 2019, o 12:19 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Złe tagowanie.
Powód: Złe tagowanie.