Zbiór zwarty przestrzeni L niesk.

[edzia1987sh]

Witam!

Mam pokazać, że zbiór
\(\displaystyle{ P= \left\{ { \sum_{n=1}^{N} a_{n}: a_{n} \ge 0, \sum_{n=1}^{N} a_{n}=1 { \right\}\right\}}\)
jest wypukły, zwarty w przestrzeni \(\displaystyle{ L^{\infty}}\). Z wypukłością sobie poradziłam, ale ze zwartością już nie. Czy wystarczy pokazać, że jest domknięty i ograniczony? Bardzo proszę i dziękuję z góry za wskazówki!

[szw1710]

Popraw opis zbioru P. W tym opisie \(\displaystyle{ P=\{1\}}\) i ewidentnie jest zbiorem zwartym i wypukłym na prostej

W przestrzeni nieskończenie wymiarowej domkniętość i ograniczoność nie wystarczy na zwartość. Dowodzi się, że kula jest zwarta jedynie w skończenie wymiarowych przestrzeniach Banacha.

[edzia1987sh]

Witam!

Mam pokazać, że zbiór
\(\displaystyle{ P= \left\{ { \sum_{n=1}^{N} \left\{ a_{n}1_\left\{ w_{n}\right\}\right\} : a_{n} \ge 0, \sum_{n=1}^{N} a_{n}=1 { \right\}\right\}}\) (otoczka wypukla wektorów jednostkowych)
jest wypukły, zwarty w przestrzeni \(\displaystyle{ L^{\infty}}\). Z wypukłością sobie poradziłam, ale ze zwartością już nie. Czy wystarczy pokazać, że jest domknięty i ograniczony? Bardzo proszę i dziękuję z góry za wskazówki!

[szw1710]

Czyli biorąc ciągi \(\displaystyle{ (e_n)}\) złożone z samych zer z jedynką na n-tym miejscu mamy

\(\displaystyle{ P=\text{conv}\{(e_n):n\in\mathbb{N}\}.}\)

Trochę za późno na myślenie o północy. Ale przynajmniej wiemy, o jaki zbiór chodzi. Taki nieskończenie wymiarowy sympleks. Norma supremum.

Ale spróbuj z ciągu elementów zbioru \(\displaystyle{ P}\) wybrać podciąg zbieżny do elementu zbioru \(\displaystyle{ P.}\) Zobacz na podobne rozumowania w książce Musielaka.

[Zordon]

czym jest \(\displaystyle{ N}\) z definicji zbioru, rozumiem, że jakaś ustalona liczba?

[szw1710]

Zordon, nie sądzę, N powinno być dowolne, tzn. zmieniać się w zbiorze liczb naturalnych. Otoczka wypukła bowiem to zbiór kombinacji wypukłych dowolnej długości. W przestrzeni skończenie wymiarowej tw. Caratheodory'ego orzeka, że można ją skrócić do długości co najwyżej wymiar+1, ale w nieskończenie wymiarowej potrzebne są długości dowolne.

[Piotr Pstragowski]

Czyli biorąc ciągi \(\displaystyle{ (e_n)}\) złożone z samych zer z jedynką na n-tym miejscu mamy

\(\displaystyle{ P=\text{conv}\{(e_n):n\in\mathbb{N}\}.}\)

Trochę za późno na myślenie o północy. Ale przynajmniej wiemy, o jaki zbiór chodzi. Taki nieskończenie wymiarowy sympleks. Norma supremum.

Dlaczego ten zbiór jest zwarty? Jaki podciąg zbieżny możemy wybrać z ciągu \(\displaystyle{ e_n}\)?

[szw1710]

Podciąg zbieżny mamy wybrać z ciągu kombinacji wypukłych wektorów \(\displaystyle{ e_n.}\)

Ale masz rację, Piotrze, w szczególności możemy wziąć ciąg "wierzchołków" \(\displaystyle{ (e_n)}\). Nie da się z niego w żaden sposób wybrać podciągu zbieżnego, gdyż oczywiście dla \(\displaystyle{ n\ne m}\) mamy \(\displaystyle{ \|e_n-e_m\|_{\infty}=1.}\)

Wniosek: podany zbiór nie jest zwarty.

[edzia1987sh]

hmmm to ciekawe... Brałam to z pracy Schaschermayera pt. Utility maximization. Czy na pewno jest tak jak Panowie wywnioskowali? Napisali tam, że mial to być convex, compact subset of \(\displaystyle{ {L_{+}}^{\infty}}\) a wektory jednostkowe \(\displaystyle{ \left( 1_{w_{n}}\right) _{n=1}^{\infty}\in L^{\infty}}\). Już sama nic z tego nie wiem

[yorgin]

Jeżeli \(\displaystyle{ N}\) jest ustaloną liczbą, to

\(\displaystyle{ P= \left\{ { \sum_{n=1}^{N} \left\{ a_{n}1_\left\{ w_{n}\right\}\right\} : a_{n} \ge 0, \sum_{n=1}^{N} a_{n}=1 { \right\}\right\}=
\left\{ (a_1,\ldots,a_N) : a_{n} \ge 0, \sum_{n=1}^{N} a_{n}=1 { \right\}\right\}}\)

Jest więc to sympleks \(\displaystyle{ N-1}\) wymiarowy w normie supremowej.

Czy taki zbiór jest zwarty? Jest!



Argument szw1710 jest niepoprawny. Jeżeli bierzemy ciąg wierzchołków, to przynajmniej jeden z tych wierzchołków występuje nieskończenie wiele razy. Wystarczy więc wybrać podciąg stały o elementach równych temu wierzchołkowi.


Oczywiście wszystko, co napisałem, ma sens o ile \(\displaystyle{ N}\) jest ustalone. A z opisu zbioru nie wynika, że \(\displaystyle{ N}\) przebiega jakikolwiek zbiór.

[Piotr Pstragowski]

Jeżeli \(\displaystyle{ N}\) jest ustaloną liczbą, to

\(\displaystyle{ P= \left\{ { \sum_{n=1}^{N} \left\{ a_{n}1_\left\{ w_{n}\right\}\right\} : a_{n} \ge 0, \sum_{n=1}^{N} a_{n}=1 { \right\}\right\}=
\left\{ (a_1,\ldots,a_N) : a_{n} \ge 0, \sum_{n=1}^{N} a_{n}=1 { \right\}\right\}}\)

Jest więc to sympleks \(\displaystyle{ N-1}\) wymiarowy w normie supremowej.

Czy taki zbiór jest zwarty? Jest!

Oczywiście, ale po co mieszamy w to biedne \(\displaystyle{ L^{\infty}}\), jeśli potem patrzymy na skończenie wymiarową podprzestrzeń?

Argument szw1710 jest niepoprawny. Jeżeli bierzemy ciąg wierzchołków, to przynajmniej jeden z tych wierzchołków występuje nieskończenie wiele razy. Wystarczy więc wybrać podciąg stały o elementach równych temu wierzchołkowi.

Przyjęliśmy, że chodzi o otoczkę wypukłą wektorów \(\displaystyle{ e_n}\).

Brałam to z pracy Schaschermayera pt. Utility maximizatio

Poszukam tej pracy i potem napiszę, co znalazłem.

[edzia1987sh]

Skoro już założyłam ten temat, to może wykorzystam to i "pociągnę" to dalej Mam dalej zbiór \(\displaystyle{ K}\) (chyba nieistotne jaki jest). Z Twierdzenia o oddzielaniu możemy rozdzielić te dwa zbiorki \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ K}\) od siebie, ( wszystkie założenia tw. są spełnione). Można je oddzielić funkcjonalem liniowym \(\displaystyle{ Q\in L^{\infty}^{*} \approx L^{1}}\) tj. znaleźć
\(\displaystyle{ \alpha, \beta\, \alpha <\beta}\), takie że

\(\displaystyle{ E_{Q}[f]=<Q, f> \le \alpha, dla f \in K}\) oraz
\(\displaystyle{ E_{Q}[h]=<Q, h> \ge \beta, dla h \in P}\).

Czy ta zależność z wartością oczekiwaną, że jest równa \(\displaystyle{ <Q, f>}\) wynika w jakiś sposób z jakiegoś twierdzenia o reprezentacji? Nie wiem jaki jest związek pomiędzy tym. Jeśli komuś by coś świtało to dam cukierka!
Pozdrawiam-- 24 września 2011, 18:37 --Będę wdzięczna Piotrze

[Piotr Pstragowski]

In order to reduce the technical difficulties of the theory of utility maximization to a minimum, we assume throughout this chapter that the probability space Ω will be finite (...)

Z tego wynika, że Twoja przestrzeń \(\displaystyle{ L^{\infty}(\Omega)}\) jest skończenie wymiarowa, więc Heine-Borel mówi Ci o zwartości Twojego domkniętego podzbioru.

Zmyliłaś nas, bo założyliśmy, że chodzi o \(\displaystyle{ L^{\infty}(\mathbb{N})}\).