Zbiór zwarty przestrzeni L niesk.
-
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 8 paź 2006, o 13:42
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 3 razy
Zbiór zwarty przestrzeni L niesk.
Witam!
Mam pokazać, że zbiór
\(\displaystyle{ P= \left\{ { \sum_{n=1}^{N} a_{n}: a_{n} \ge 0, \sum_{n=1}^{N} a_{n}=1 { \right\}\right\}}\)
jest wypukły, zwarty w przestrzeni \(\displaystyle{ L^{\infty}}\). Z wypukłością sobie poradziłam, ale ze zwartością już nie. Czy wystarczy pokazać, że jest domknięty i ograniczony? Bardzo proszę i dziękuję z góry za wskazówki!
Mam pokazać, że zbiór
\(\displaystyle{ P= \left\{ { \sum_{n=1}^{N} a_{n}: a_{n} \ge 0, \sum_{n=1}^{N} a_{n}=1 { \right\}\right\}}\)
jest wypukły, zwarty w przestrzeni \(\displaystyle{ L^{\infty}}\). Z wypukłością sobie poradziłam, ale ze zwartością już nie. Czy wystarczy pokazać, że jest domknięty i ograniczony? Bardzo proszę i dziękuję z góry za wskazówki!
Zbiór zwarty przestrzeni L niesk.
Popraw opis zbioru P. W tym opisie \(\displaystyle{ P=\{1\}}\) i ewidentnie jest zbiorem zwartym i wypukłym na prostej
W przestrzeni nieskończenie wymiarowej domkniętość i ograniczoność nie wystarczy na zwartość. Dowodzi się, że kula jest zwarta jedynie w skończenie wymiarowych przestrzeniach Banacha.
W przestrzeni nieskończenie wymiarowej domkniętość i ograniczoność nie wystarczy na zwartość. Dowodzi się, że kula jest zwarta jedynie w skończenie wymiarowych przestrzeniach Banacha.
-
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 8 paź 2006, o 13:42
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 3 razy
Zbiór zwarty przestrzeni L niesk.
edzia1987sh pisze:Witam!
Mam pokazać, że zbiór
\(\displaystyle{ P= \left\{ { \sum_{n=1}^{N} \left\{ a_{n}1_\left\{ w_{n}\right\}\right\} : a_{n} \ge 0, \sum_{n=1}^{N} a_{n}=1 { \right\}\right\}}\) (otoczka wypukla wektorów jednostkowych)
jest wypukły, zwarty w przestrzeni \(\displaystyle{ L^{\infty}}\). Z wypukłością sobie poradziłam, ale ze zwartością już nie. Czy wystarczy pokazać, że jest domknięty i ograniczony? Bardzo proszę i dziękuję z góry za wskazówki!
Zbiór zwarty przestrzeni L niesk.
Czyli biorąc ciągi \(\displaystyle{ (e_n)}\) złożone z samych zer z jedynką na n-tym miejscu mamy
\(\displaystyle{ P=\text{conv}\{(e_n):n\in\mathbb{N}\}.}\)
Trochę za późno na myślenie o północy. Ale przynajmniej wiemy, o jaki zbiór chodzi. Taki nieskończenie wymiarowy sympleks. Norma supremum.
Ale spróbuj z ciągu elementów zbioru \(\displaystyle{ P}\) wybrać podciąg zbieżny do elementu zbioru \(\displaystyle{ P.}\) Zobacz na podobne rozumowania w książce Musielaka.
\(\displaystyle{ P=\text{conv}\{(e_n):n\in\mathbb{N}\}.}\)
Trochę za późno na myślenie o północy. Ale przynajmniej wiemy, o jaki zbiór chodzi. Taki nieskończenie wymiarowy sympleks. Norma supremum.
Ale spróbuj z ciągu elementów zbioru \(\displaystyle{ P}\) wybrać podciąg zbieżny do elementu zbioru \(\displaystyle{ P.}\) Zobacz na podobne rozumowania w książce Musielaka.
Zbiór zwarty przestrzeni L niesk.
Zordon, nie sądzę, N powinno być dowolne, tzn. zmieniać się w zbiorze liczb naturalnych. Otoczka wypukła bowiem to zbiór kombinacji wypukłych dowolnej długości. W przestrzeni skończenie wymiarowej tw. Caratheodory'ego orzeka, że można ją skrócić do długości co najwyżej wymiar+1, ale w nieskończenie wymiarowej potrzebne są długości dowolne.
-
- Użytkownik
- Posty: 102
- Rejestracja: 8 sie 2011, o 20:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 14 razy
Zbiór zwarty przestrzeni L niesk.
Dlaczego ten zbiór jest zwarty? Jaki podciąg zbieżny możemy wybrać z ciągu \(\displaystyle{ e_n}\)?szw1710 pisze:Czyli biorąc ciągi \(\displaystyle{ (e_n)}\) złożone z samych zer z jedynką na n-tym miejscu mamy
\(\displaystyle{ P=\text{conv}\{(e_n):n\in\mathbb{N}\}.}\)
Trochę za późno na myślenie o północy. Ale przynajmniej wiemy, o jaki zbiór chodzi. Taki nieskończenie wymiarowy sympleks. Norma supremum.
Zbiór zwarty przestrzeni L niesk.
Podciąg zbieżny mamy wybrać z ciągu kombinacji wypukłych wektorów \(\displaystyle{ e_n.}\)
Ale masz rację, Piotrze, w szczególności możemy wziąć ciąg "wierzchołków" \(\displaystyle{ (e_n)}\). Nie da się z niego w żaden sposób wybrać podciągu zbieżnego, gdyż oczywiście dla \(\displaystyle{ n\ne m}\) mamy \(\displaystyle{ \|e_n-e_m\|_{\infty}=1.}\)
Wniosek: podany zbiór nie jest zwarty.
Ale masz rację, Piotrze, w szczególności możemy wziąć ciąg "wierzchołków" \(\displaystyle{ (e_n)}\). Nie da się z niego w żaden sposób wybrać podciągu zbieżnego, gdyż oczywiście dla \(\displaystyle{ n\ne m}\) mamy \(\displaystyle{ \|e_n-e_m\|_{\infty}=1.}\)
Wniosek: podany zbiór nie jest zwarty.
-
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 8 paź 2006, o 13:42
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 3 razy
Zbiór zwarty przestrzeni L niesk.
hmmm to ciekawe... Brałam to z pracy Schaschermayera pt. Utility maximization. Czy na pewno jest tak jak Panowie wywnioskowali? Napisali tam, że mial to być convex, compact subset of \(\displaystyle{ {L_{+}}^{\infty}}\) a wektory jednostkowe \(\displaystyle{ \left( 1_{w_{n}}\right) _{n=1}^{\infty}\in L^{\infty}}\). Już sama nic z tego nie wiem
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Zbiór zwarty przestrzeni L niesk.
Jeżeli \(\displaystyle{ N}\) jest ustaloną liczbą, to
\(\displaystyle{ P= \left\{ { \sum_{n=1}^{N} \left\{ a_{n}1_\left\{ w_{n}\right\}\right\} : a_{n} \ge 0, \sum_{n=1}^{N} a_{n}=1 { \right\}\right\}=
\left\{ (a_1,\ldots,a_N) : a_{n} \ge 0, \sum_{n=1}^{N} a_{n}=1 { \right\}\right\}}\)
Jest więc to sympleks \(\displaystyle{ N-1}\) wymiarowy w normie supremowej.
Czy taki zbiór jest zwarty? Jest!
Argument szw1710 jest niepoprawny. Jeżeli bierzemy ciąg wierzchołków, to przynajmniej jeden z tych wierzchołków występuje nieskończenie wiele razy. Wystarczy więc wybrać podciąg stały o elementach równych temu wierzchołkowi.
Oczywiście wszystko, co napisałem, ma sens o ile \(\displaystyle{ N}\) jest ustalone. A z opisu zbioru nie wynika, że \(\displaystyle{ N}\) przebiega jakikolwiek zbiór.
\(\displaystyle{ P= \left\{ { \sum_{n=1}^{N} \left\{ a_{n}1_\left\{ w_{n}\right\}\right\} : a_{n} \ge 0, \sum_{n=1}^{N} a_{n}=1 { \right\}\right\}=
\left\{ (a_1,\ldots,a_N) : a_{n} \ge 0, \sum_{n=1}^{N} a_{n}=1 { \right\}\right\}}\)
Jest więc to sympleks \(\displaystyle{ N-1}\) wymiarowy w normie supremowej.
Czy taki zbiór jest zwarty? Jest!
Argument szw1710 jest niepoprawny. Jeżeli bierzemy ciąg wierzchołków, to przynajmniej jeden z tych wierzchołków występuje nieskończenie wiele razy. Wystarczy więc wybrać podciąg stały o elementach równych temu wierzchołkowi.
Oczywiście wszystko, co napisałem, ma sens o ile \(\displaystyle{ N}\) jest ustalone. A z opisu zbioru nie wynika, że \(\displaystyle{ N}\) przebiega jakikolwiek zbiór.
-
- Użytkownik
- Posty: 102
- Rejestracja: 8 sie 2011, o 20:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 14 razy
Zbiór zwarty przestrzeni L niesk.
Oczywiście, ale po co mieszamy w to biedne \(\displaystyle{ L^{\infty}}\), jeśli potem patrzymy na skończenie wymiarową podprzestrzeń?yorgin pisze:Jeżeli \(\displaystyle{ N}\) jest ustaloną liczbą, to
\(\displaystyle{ P= \left\{ { \sum_{n=1}^{N} \left\{ a_{n}1_\left\{ w_{n}\right\}\right\} : a_{n} \ge 0, \sum_{n=1}^{N} a_{n}=1 { \right\}\right\}=
\left\{ (a_1,\ldots,a_N) : a_{n} \ge 0, \sum_{n=1}^{N} a_{n}=1 { \right\}\right\}}\)
Jest więc to sympleks \(\displaystyle{ N-1}\) wymiarowy w normie supremowej.
Czy taki zbiór jest zwarty? Jest!
Przyjęliśmy, że chodzi o otoczkę wypukłą wektorów \(\displaystyle{ e_n}\).yorgin pisze:Argument szw1710 jest niepoprawny. Jeżeli bierzemy ciąg wierzchołków, to przynajmniej jeden z tych wierzchołków występuje nieskończenie wiele razy. Wystarczy więc wybrać podciąg stały o elementach równych temu wierzchołkowi.
Poszukam tej pracy i potem napiszę, co znalazłem.Brałam to z pracy Schaschermayera pt. Utility maximizatio
-
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 8 paź 2006, o 13:42
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 3 razy
Zbiór zwarty przestrzeni L niesk.
Skoro już założyłam ten temat, to może wykorzystam to i "pociągnę" to dalej Mam dalej zbiór \(\displaystyle{ K}\) (chyba nieistotne jaki jest). Z Twierdzenia o oddzielaniu możemy rozdzielić te dwa zbiorki \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ K}\) od siebie, ( wszystkie założenia tw. są spełnione). Można je oddzielić funkcjonalem liniowym \(\displaystyle{ Q\in L^{\infty}^{*} \approx L^{1}}\) tj. znaleźć
\(\displaystyle{ \alpha, \beta\, \alpha <\beta}\), takie że
\(\displaystyle{ E_{Q}[f]=<Q, f> \le \alpha, dla f \in K}\) oraz
\(\displaystyle{ E_{Q}[h]=<Q, h> \ge \beta, dla h \in P}\).
Czy ta zależność z wartością oczekiwaną, że jest równa \(\displaystyle{ <Q, f>}\) wynika w jakiś sposób z jakiegoś twierdzenia o reprezentacji? Nie wiem jaki jest związek pomiędzy tym. Jeśli komuś by coś świtało to dam cukierka!
Pozdrawiam-- 24 września 2011, 18:37 --Będę wdzięczna Piotrze
\(\displaystyle{ \alpha, \beta\, \alpha <\beta}\), takie że
\(\displaystyle{ E_{Q}[f]=<Q, f> \le \alpha, dla f \in K}\) oraz
\(\displaystyle{ E_{Q}[h]=<Q, h> \ge \beta, dla h \in P}\).
Czy ta zależność z wartością oczekiwaną, że jest równa \(\displaystyle{ <Q, f>}\) wynika w jakiś sposób z jakiegoś twierdzenia o reprezentacji? Nie wiem jaki jest związek pomiędzy tym. Jeśli komuś by coś świtało to dam cukierka!
Pozdrawiam-- 24 września 2011, 18:37 --Będę wdzięczna Piotrze
-
- Użytkownik
- Posty: 102
- Rejestracja: 8 sie 2011, o 20:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 14 razy
Zbiór zwarty przestrzeni L niesk.
Z tego wynika, że Twoja przestrzeń \(\displaystyle{ L^{\infty}(\Omega)}\) jest skończenie wymiarowa, więc Heine-Borel mówi Ci o zwartości Twojego domkniętego podzbioru.Utility Maximisation in Incomplete Markets, Walter Schachermayer pisze:In order to reduce the technical difficulties of the theory of utility maximization to a minimum, we assume throughout this chapter that the probability space Ω will be finite (...)
Zmyliłaś nas, bo założyliśmy, że chodzi o \(\displaystyle{ L^{\infty}(\mathbb{N})}\).