Rozmaitości jako snopy

[Piotr Pstragowski]

Niech \(\displaystyle{ \mathcal{A}ff}\) oznacza (małą) kategorię, który jako obiekty zawiera \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) dla każdego \(\displaystyle{ n}\), a przekształceniami są funkcje gładkie.

Każda gładka rozmaitość \(\displaystyle{ M}\) definiuje związany z nią presnop na \(\displaystyle{ \mathcal{A}ff}\) przez:

\(\displaystyle{ X \Rightarrow Map(X,M)}\)

gdzie \(\displaystyle{ Map}\) oznacza przekształcenia gładkie.

Czy istnieje taka topologia na \(\displaystyle{ \mathcal{A}ff}\), że snopami w tej topologii są dokładnie presnopy reprezentowane przez rozmaitości?

[xiikzodz]

A mógłbyś zdefiniować, wskazać link do defininicji, w miarę możliwości od podstaw wszystkich występujących pojęć?

Na przykład co to jest topologia (albo od razu presnop) na małej kategorii. Chętnie pomyślę, a przynajmniej zrozumiem problem, ale nie mam czasu szukać definicji.

To forum ma nieco bardziej rekreacyjny charakter od forów, na których wypowiadają się głównie eksperci i na odpowiedź eksperta można się nie doczekać.

[Piotr Pstragowski]

Jeśli czytałaś kiedyś o snopach na przestrzeniach topologicznych, to snopem nazwiemy presnop, który spełnia warunki zaczynające się od "Niech \(\displaystyle{ U_i}\) pokrywa \(\displaystyle{ U}\), to (...)" i te warunki mówią, że elementy snopa można konstruować lokalnie.

Wniosek jest taki, że by powiedzieć czym jest snop, wystarczy zdefiniować, kiedy \(\displaystyle{ U_i}\) pokrywają \(\displaystyle{ U}\). Taką strukturę na kategorii nazywa się Topologią Grothendiecka - .

[xiikzodz]

Możesz wypisać, czym są obiekty \(\displaystyle{ \mathcal{A}ff}\)? W linku, który podałeś topologię Grothendiecka ustala się wybierając wśród obiektów odpowiedniki zbiorów otwartych. Jeśli obiektami są przestrzenie euklidesowe (które można ponumerować ich wymiarami), to jakby ich za mało. Ale pewnie nie rozumiem o co chodzi.

Na pierwszy rzut oka wygląda to na formę twierdzenia o rzędzie, ale wymiękam na poziomie rozumienia definicji, więc nie mam szans tego podejrzenia sprawdzić.

[Piotr Pstragowski]

Możesz wypisać, czym są obiekty \(\displaystyle{ \mathcal{A}ff}\)? W linku, który podałeś topologię Grothendiecka ustala się wybierając wśród obiektów odpowiedniki zbiorów otwartych. Jeśli obiektami są przestrzenie euklidesowe (które można ponumerować ich wymiarami), to jakby ich za mało. Ale pewnie nie rozumiem o co chodzi.

To nie jest do końca prawda. Odpowiednikami zbiorów otwartych nie są obiekty, ale przekształcenia. Np. mamy dużo nietrywialnych włożeń otwartych \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n}\), które "wycinają" zbiory otwarte.

Natomiast rzeczywiście masz rację, że chyba podszedłem do sprawy zbyt optymistycznie. (Analogia pochodzi z geometrii algebraicznej, gdzie odpowiednikami \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) są schematy afiniczne, czyli w tym przypadku za \(\displaystyle{ \mathcal{A}ff}\) bierzemy \(\displaystyle{ \mathcal{CR}ing^{op}}\)). W szczególności, nie wydaje mi się, by moja kategoria \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\)-ów spełniała aksjomat istnienia produktów włóknistych, bo nie widzę powodów, żeby produkt włóknisty również był przestrzenią afiniczną.

Być może za \(\displaystyle{ \mathcal{A}ff}\) należy wziąć (małą) kategorię otwartych podzbiorów \(\displaystyle{ R^n}\)?

[xiikzodz]

Odpowiednikami zbiorów otwartych nie są obiekty, ale przekształcenia. Np. mamy dużo nietrywialnych włożeń otwartych \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n}\), które "wycinają" zbiory otwarte.

Raczej coś w stylu funktora \(\displaystyle{ h^A}\) dla \(\displaystyle{ A\in Obj}\), żeby w ogóle definicje działały. Ale nie mam czasu ustalić szczegółów, dlatego pytam. Intuicyjnie, żeby jakaś topologia pochodząca od przekształceń gładkich działała, trzeba się uporać z punktami krytycznymi (tam, gdzie nie działa twerdzenie o rzędzie) ale znowu to tylko zgadywanka.

Co do wyboru kategorii. Po pierwsze istnieją standardowe kategorie pomocnicze do studiowania rozmaitości, np. wiązki i cięcia. Po drugie można zajrzeć tu:

Kod: Zaznacz cały

http://ncatlab.org/nlab/show/manifold

i po kilku iteracjach wyboru linków do tematów napotykamy zagadnienia o podobnych sformułowaniach.

Na przykład wejście tu:

Kod: Zaznacz cały

http://ncatlab.org/nlab/show/diffeological+space

dostarcza przykładu (uogólnienia rozmaitości gładkiej), w którym startujemy z kategorii zbiorów otwartych w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) z morfizmami będącymi przekształceniami gładkimi.

[Piotr Pstragowski]

"Diffeological space" jest bardzo blisko tego, czego szukałem, dziękuję! Niestety, nie potrafię znaleźć na tej stronie warunków na to, aby przestrzeń dyfeologiczna była rozmaitością...

[xiikzodz]

Zemmour pisze właśnie podręcznik (wygląda bardzo przystępnie) i można sobie ściągnąć to, co już napisał:

Kod: Zaznacz cały

http://math.huji.ac.il/~piz/documents/Diffeology.pdf

Strona 120.

[Piotr Pstragowski]

Ta książka to bardzo ciekawa sprawa. Można się zastanawiać, czy jej pojawienie się to oznaka, że niedługo geometrię różniczkową czeka to samo co spotkało topologię i geometrię algebraiczną...

[Ein]

to samo co spotkało topologię i geometrię algebraiczną...

Czyli?

[rps]

Ta książka to bardzo ciekawa sprawa. Można się zastanawiać, czy jej pojawienie się to oznaka, że niedługo geometrię różniczkową czeka to samo co spotkało topologię i geometrię algebraiczną...

Nie czeka. Patrzenie na rozmaitości jako na przestrzenie lokalnie opierścienione i próbowanie przeprowadzania rozumowań zbliżonych do tych z geometrii algebraicznej przez wiele lat nie zaowocowało niczym ciekawym. Takie tam zabawki, które do niczego nie prowadzą.

Znacznie efektywniejsze okazały się pomysły chociażby pochodzące z geometrii nieprzemiennej (np. będące uogólnieniami rozmaitości Riemannowskich). Niestety nie da się przy nich pozbyć "fizycznego" zabarwienia