Matematyka.pl

Mam ciąg funkcyjny
\(\displaystyle{ f_{n}(x)=2n^{2}xe^{-n^{2}x^{2}}}\) dla \(\displaystyle{ x \in R}\)
Trzeba zbadac zbieznos w metryce całkowej \(\displaystyle{ L^{1}}\). Jak sie zabrac do czegos takiego?

W zadaniu mam jeszcze obliczyć granice punktową i sprawdzić zbieżność jednostajną.
Zbiezność punktowa wyszła mi \(\displaystyle{ 0}\). Teraz muszę sprawdzić zbieżność jednostajną.
Mogę to obliczyć z \(\displaystyle{ sup_{x \in R}(f_{n})}\)

Metryka całkowa w \(\displaystyle{ L^1}\): \(\displaystyle{ d(f,g)=\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)-g(x)|\,\text{d}x\,.}\)

Wyznacz kandydata na funkcję graniczną oraz policz odpowiednie całki.

Co do zbieżności jednostajnej, opisana metoda jest poprawna.

czy w metryce całkowej będzie funkcja bedzie równiez zbiegac do \(\displaystyle{ 0}\)?
Patrzymy tutaj tak jakby na pole pod wykresem, tak?-- 31 sie 2011, o 14:03 --ale jak obliczyłam \(\displaystyle{ d(f,0)}\) to wyszlo mi równe \(\displaystyle{ 2}\) czyli to nie jest granica, czy poprostu nie jest zbezne?

Jeśli Twoje obliczenia są poprawne i jeśli zachodzi zbieżność do czegokolwiek, to nie do funkcji zerowej. Istotnie, patrzymy na pole pod wykresami funkcji \(\displaystyle{ f_n.}\)

Wiadomo jednak, że jak ciąg zbiega do czegoś punktowo oraz w \(\displaystyle{ L^{1}}\), to koniecznie do tego samego, zatem to już koniec.

\(\displaystyle{ f_{n}}\) jest nieparzysta więc całka jest równa \(\displaystyle{ 0}\) więc sprawa jasna. Ja źle policzyłam to \(\displaystyle{ d(f,0)}\), bo założyłam,że \(\displaystyle{ f_{n}}\) jest parzyste.-- 3 wrz 2011, o 11:26 --jednak nie jest tak jak pisałam, bo bierzemy pod całką wartość bezwzględną
czyli juz nie wiem...