Przestrzenie Sobolewa

[Zbychu91]

Co oznacza, że przestrzeń \(\displaystyle{ H_0^k}\) jest domknięciem przestrzeni funkcji \(\displaystyle{ C^{\infty}_0}\) w \(\displaystyle{ H^k}\). To znaczy, że każdy ciąg funkcji z przestrzeni \(\displaystyle{ C^{\infty}_0}\) jest zbieżny w \(\displaystyle{ H^k}\)?
A drugie pytanie, przy okazji, co znaczy, że wektor jest zewnętrzny do brzegu?

[Yaco_89]

To znaczy, że jest najmniejszą domkniętą przestrzenią zawierającą \(\displaystyle{ C_0^\infty}\).

[Spektralny]

To znaczy, że jest najmniejszą domkniętą przestrzenią zawierającą \(\displaystyle{ C_0^\infty}\).

Niezupełnie to ścisłe. Klasycznie przestrzeń tę konstruuje się jako uzupełnienie przestrzeni \(\displaystyle{ C^\infty_0}\) w odpowiedniej normie (przestrzeni \(\displaystyle{ H^k}\)). Po uzupełnieniu, rzeczywiście można mówić o domknięciu.

[Lataj?cyHolek]

208636.htm#p808324

\(\displaystyle{ H^k = W^{k,2}}\)

[Zbychu91]

https://www.matematyka.pl/208636.htm#p808324

\(\displaystyle{ H^k = W^{k,2}}\)

Ok, ale to, że pochodne zanikają na brzegu to jest twierdzenie wynikające chyba z twierdzenia Sobolewa o śladzie, a mi chodziło o zrozumienie definicji.

[Lataj?cyHolek]

Tak, wynika to z twierdzenia o zerowym śladzie i przy okazji daje dobrą interpretację funkcji z owej przestrzeni.