Analiza wektorowa - wyprowadzenie wzorów trygonometrycznych

[lukki_173]

Witam. Mam problem z następującym zadaniem:
Z twierdzenia o rzucie sumy wektorów wyprowadzić wzory trygonometryczne:
\(\displaystyle{ \cos \left( \phi \right) +\cos \left( \phi+\frac{2 \pi}{n} \right) +\cos \left( \phi+\frac{4 \pi}{n} \right) +...+\cos \left( \phi+\frac{2 \left( n-1 \right) \pi}{n} \right) =0\\
\sin \left( \frac{2 \pi}{n} \right) +\sin \left( \frac{4 \pi}{n} \right) +...+\sin \left( \frac{2 \left( n-1 \right) \pi}{n} \right) =0}\)
Wskazówka do zadania: Rozważyć n-kąt foremny wpisany w okrąg o promieniu 1.
Proszę o jakąkolwiek pomoc, gdyż nie mam pomysłu, jak zabrać się za to zadanie. Z góry dziękuję.
Pozdrawiam

[Qń]

Najprościej zrobić to przy użyciu liczb zespolonych - wiemy, że suma pierwiastków równania
\(\displaystyle{ z^n=\cos n\phi + i\sin n\phi}\)
jest równa zero. W szczególności więc suma części rzeczywistych tych pierwiastków jest równa zero. A to jest właśnie teza w pierwszej części.

W drugiej części analogicznie dla części urojonej sumy pierwiastków równania \(\displaystyle{ z^n=1}\)

Jeśli nie chcemy używać liczb zespolonych, to rozwiązanie można przeformułować (dla drugiej części): rozważmy wektory \(\displaystyle{ \left[\cos \frac{2k\pi}{n}, \sin \frac{2k\pi}{n} \right]}\) gdzie \(\displaystyle{ k=0,1,\dots ,n}\). Ich suma jest wektorem zerowym. Zatem (o czym jak mniemam mówi przywołane przez Ciebie twierdzenie), także suma ich rzutów na oś \(\displaystyle{ OY}\) jest zerem, a to właśnie teza.

Dla pierwszej części analogicznie.

Q.

[koniczyna13]

Witam, mam do rozwiązania to samo zadanie. Mógłby mi ktoś powiedzieć dlaczego wybieramy akurat takie wektory i jak je mam rozpatrzyć?