Izometria przestrzeni C^n i do niej sprzężonej
: 23 sie 2010, o 16:46
Niech \(\displaystyle{ E=\mathbb{C}^n,\ n\in\mathbb{N}}\) z normą Euklidesową, \(\displaystyle{ x=(x_k)_{k=1}^n\in E}\). Wówczas \(\displaystyle{ \forall_{x\in\mathbb{C}^n}\ x=\sum_{k=1}^n x_ke_k}\), gdzie \(\displaystyle{ e_k=(0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)}\). Niech \(\displaystyle{ f\in(\mathbb{C}^n)^*}\). Wtedy \(\displaystyle{ f(x)=\sum_{k=1}^{n}x_kf(e_k)=\sum_{k=1}^{n}x_ky_k,\ y_k:=f(e_k).}\) Zatem\(\displaystyle{ \\\forall_{f\in(\mathbb{C}^n)^*}\exists!_{(y_k)_{k=1}^n\in\mathbb{C}^n}\ f(x)=\sum_{k=1}^{n}x_ky_k,\ x=(x_k)_{k=1}^{n}}\).
Z drugiej strony wzór:
\(\displaystyle{ f(x)=\sum_{k=1}^{n}x_ky_k}\), gdzie \(\displaystyle{ (y_k)_{k=1}^n\in\mathbb{C}^n}\) - ustalony wektor w \(\displaystyle{ \mathbb{C}^n}\), definiuje funkcjonał liniowy ciągły na \(\displaystyle{ \matbb{C}^n}\).
Można zdefiniować odwzorowanie:
Wówczas \(\displaystyle{ \varphi}\) jest bijekcją liniową.
Chcę udowodnić, że również \(\displaystyle{ ||\varphi(f)||=||f||}\).
W jedną stronę:
\(\displaystyle{ ||f||=\sup_{\substack{x\in E\\x \neq 0}}\frac{|f(x)|}{||x||}=\sup_{\substack{x\in E\\x \neq 0}}\frac{|\sum_{k=1}^{n}x_ky_k|}{||x||}\le \sup_{\substack{x\in E\\x \neq 0}}\frac{\sum_{k=1}^{n}|x_ky_k|}{||x||}\le \sup_{\substack{x\in E\\x \neq 0}}\frac{\sqrt{\sum_{k=1}^{n}x_k^2}\sqrt{\sum_{k=1}^{n}y_k^2}}{||x||}=\sup_{\substack{x\in E\\x \neq 0}}\frac{||x||\cdot||y||}{||x||}=||y||=||\varphi(f)||}\)
Czy może ktoś uzasadnić nierówność w druga stronę, albo dać jakąś wskazówkę???
Z drugiej strony wzór:
\(\displaystyle{ f(x)=\sum_{k=1}^{n}x_ky_k}\), gdzie \(\displaystyle{ (y_k)_{k=1}^n\in\mathbb{C}^n}\) - ustalony wektor w \(\displaystyle{ \mathbb{C}^n}\), definiuje funkcjonał liniowy ciągły na \(\displaystyle{ \matbb{C}^n}\).
Można zdefiniować odwzorowanie:
\(\displaystyle{ \varphi:(\mathbb{C}^n)^*\to\mathbb{C}^n}\)
\(\displaystyle{ \varphi(f)=y=(y_k)_{k=1}^n\in\mathbb{C}^n}\)
.Wówczas \(\displaystyle{ \varphi}\) jest bijekcją liniową.
Chcę udowodnić, że również \(\displaystyle{ ||\varphi(f)||=||f||}\).
W jedną stronę:
\(\displaystyle{ ||f||=\sup_{\substack{x\in E\\x \neq 0}}\frac{|f(x)|}{||x||}=\sup_{\substack{x\in E\\x \neq 0}}\frac{|\sum_{k=1}^{n}x_ky_k|}{||x||}\le \sup_{\substack{x\in E\\x \neq 0}}\frac{\sum_{k=1}^{n}|x_ky_k|}{||x||}\le \sup_{\substack{x\in E\\x \neq 0}}\frac{\sqrt{\sum_{k=1}^{n}x_k^2}\sqrt{\sum_{k=1}^{n}y_k^2}}{||x||}=\sup_{\substack{x\in E\\x \neq 0}}\frac{||x||\cdot||y||}{||x||}=||y||=||\varphi(f)||}\)
Czy może ktoś uzasadnić nierówność w druga stronę, albo dać jakąś wskazówkę???