Twierdzenie Barbiera

[Wasilewski]

Niech \(\displaystyle{ \mathbf{a}}\) będzie wypukłą krzywą zamkniętą (bez samoprzecięć) w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{2}}\), o stałej szerokości \(\displaystyle{ d}\) (to znaczy, że dwa punkty na tej krzywej o równoległych stycznych są w odległości \(\displaystyle{ d}\)). Pokazać, że długość tej krzywej jest równa \(\displaystyle{ \pi \cdot d}\).
Wiem tyle, że przy parametryzacji łukowej te przeciwległe punkty dane są zależnością \(\displaystyle{ \mathbf{b}(s) = \mathbf{a}(s) + d \cdot \mathbf{N}(s)}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathbf{N}}\) jest wektorem normalnym do krzywej. Ponadto odwrotności krzywizn w punktach \(\displaystyle{ \mathbf{a}(s)}\) oraz \(\displaystyle{ \mathbf{b}(s)}\) sumują się do \(\displaystyle{ d}\). Pewnie trzeba też skorzystać z faktu, że całka z krzywizny jest równa \(\displaystyle{ 2\pi}\).
Widziałem już ładny geometryczny dowód tego faktu, ale interesuje mnie podejście wykorzystujące wyniki geometrii różniczkowej.
EDIT. Jakoś wymęczyłem, korzystając mocno z innego zadania. Niemniej jednak nie pogardzę rozwiązaniem, jeśli ktoś poczuje silną potrzebę naszkicowania tu takowego.