Obliczyć normę funkcjonału

[olka_k]

Dany jest funkcjonał:

\(\displaystyle{ g:l^{1}\ni \lbrace x _{n}\rbrace_{n \in \NN} \rightarrow \sum_{n=1}^{ \infty} \frac{x _{n}}{n^{2}-5n+1000 }}\)

Korzystając z tego, że \(\displaystyle{ (l^{1})'=l^{ \infty }}\) obliczyć \(\displaystyle{ \left| \left|g \right| \right|}\).

[Spektralny]

Norma tego funkcjonału to

\(\displaystyle{ \sup_{n\in \mathbb N} |\frac{1}{n^2-5n+1000}|.}\)

Zauważmy, że ciąg \(\displaystyle{ n^2-5n+1000}\) przyjmuje najmniejszą wartość dla \(\displaystyle{ n=2,3}\) która jest wtedy równa 994. Stąd norma odwzorowania to \(\displaystyle{ 1/994}\).