Matematyka.pl

Witam! Znalazłem juz ostatnie zadanko, z którym nie moge sobie poradzić. Czy ktos ma pomysł?
Rozważmy przestrzeń \(\displaystyle{ L^{2}[0,1]}\) z iloczynem skalarnym danym wzorem \(\displaystyle{ <x,y>=x(t)y(t)}\) dla \(\displaystyle{ x,y \in L^{2}[0,1]}\).
a)Norma funkcjonału \(\displaystyle{ f:L^{2}[0,1]\longrightarrow\mathbb{R}}\), określonego wzorem \(\displaystyle{ f=\int\limits_{0}^{1}e^{\sqrt{t}}x(t)dt}\) dla \(\displaystyle{ x \in L^{2}[0,1]}\), jest równa \(\displaystyle{ \sqrt{e+1}}\)
Czy to zdanie jest prawdziwę?

Twoja definicja iloczynu skalarnego \(\displaystyle{ \langle x, y\rangle}\) nie ma sensu. Zapewne masz na myśli

\(\displaystyle{ \langle x, y \rangle = \int_0^1 x(t)\overline{y(t)}\,\mbox{d}t}\).

Funkcja \(\displaystyle{ x_0(t)=1\;(t\in [0,1])}\) należy do \(\displaystyle{ L_2[0,1]}\) i ma normę 1. Mamy

\(\displaystyle{ \|f\|\geqslant |f(x_0)| = \int_0^1 e^{\sqrt{t}}\,\mbox{d}t=2>\sqrt{1+e}.}\)

czyli zdanie, które Cię interesuje, nie jest prawdziwe.