Iloczyn skalarny w przestrzeni.

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
lewis83
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 10 mar 2009, o 23:08
Płeć: Mężczyzna

Iloczyn skalarny w przestrzeni.

Post autor: lewis83 » 13 mar 2009, o 08:13

Witam! Znalazłem juz ostatnie zadanko, z którym nie moge sobie poradzić. Czy ktos ma pomysł?
Rozważmy przestrzeń \(\displaystyle{ L^{2}[0,1]}\) z iloczynem skalarnym danym wzorem \(\displaystyle{ <x,y>=x(t)y(t)}\) dla \(\displaystyle{ x,y \in L^{2}[0,1]}\).
a)Norma funkcjonału \(\displaystyle{ f:L^{2}[0,1]\longrightarrow\mathbb{R}}\), określonego wzorem \(\displaystyle{ f=\int\limits_{0}^{1}e^{\sqrt{t}}x(t)dt}\) dla \(\displaystyle{ x \in L^{2}[0,1]}\), jest równa \(\displaystyle{ \sqrt{e+1}}\)
Czy to zdanie jest prawdziwę?

Awatar użytkownika
Spektralny
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 3964
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 926 razy

Iloczyn skalarny w przestrzeni.

Post autor: Spektralny » 12 paź 2013, o 22:09

Twoja definicja iloczynu skalarnego \(\displaystyle{ \langle x, y\rangle}\) nie ma sensu. Zapewne masz na myśli

\(\displaystyle{ \langle x, y \rangle = \int_0^1 x(t)\overline{y(t)}\,\mbox{d}t}\).

Funkcja \(\displaystyle{ x_0(t)=1\;(t\in [0,1])}\) należy do \(\displaystyle{ L_2[0,1]}\) i ma normę 1. Mamy

\(\displaystyle{ \|f\|\geqslant |f(x_0)| = \int_0^1 e^{\sqrt{t}}\,\mbox{d}t=2>\sqrt{1+e}.}\)

czyli zdanie, które Cię interesuje, nie jest prawdziwe.

ODPOWIEDZ