Normy.

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
lewis83
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 10 mar 2009, o 23:08
Płeć: Mężczyzna

Normy.

Post autor: lewis83 » 11 mar 2009, o 02:53

Utknełem na takim zadankiem ktoś ma pomysł?
Normy \(\displaystyle{ \parallel\cdot\parallel_{sup}}\) \(\displaystyle{ \parallel\cdot\parallel_{1}:C[0,1]\longrightarrow\mathbb{R}}\) są określone wzorami: \(\displaystyle{ \parallel\(x\parallel_{sup}=sup_{0 \le t\ \le 1}|x(t)|, \parallel\(x\parallel_{1}=\int\limits_{0}^{1}|x(t)|dt}\) dla \(\displaystyle{ x \in C[0,1]}\). Które z poniższych zdań jest prawdziwe, a które fałczywe?
a)Funkcja \(\displaystyle{ \parallel\cdot\parallel_{1}:C[0,1]\longrightarrow\mathbb{R}}\) określona wzorem \(\displaystyle{ \parallel\(x\parallel=2\parallel\(x\parallel+\parallel\(x\parallel_{1}}\) dla \(\displaystyle{ x \in [0,1]}\) jest normą w \(\displaystyle{ C[0,1]}\)
b)Funkcja \(\displaystyle{ \parallel\cdot\parallel_{1}:C[0,1]\longrightarrow\mathbb{R}}\) określona wzorem \(\displaystyle{ \parallel\(x\parallel=max(\parallel\cdot\parallel_{sup}\parallel\cdot\parallel_{1})}\)dla \(\displaystyle{ x \in [0,1]}\) jest normą w \(\displaystyle{ C[0,1]}\), równoważną normie \(\displaystyle{ \parallel\cdot\parallel_{sup}}\)
c)Funkcjonały \(\displaystyle{ f:(C[0,1],\parallel\cdot\parallel_{sup})\longrightarrow\mathbb{R}}\)okresłony wzorem \(\displaystyle{ f(x)=x(0)-x(1)}\) dla \(\displaystyle{ x\in C[0,1]}\), ma normę równą 1.
d)Ciąg \(\displaystyle{ (x_{n})_n \in N}\) \(\displaystyle{ x_n(t)=\frac{1}{t^{2}+n}}\) dla \(\displaystyle{ t \in [0,1]}\) jest zbieżny w \(\displaystyle{ (C[0,1],\parallel\cdot\parallel_{sup})}\)

liu
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1330
Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów
Pomógł: 104 razy

Normy.

Post autor: liu » 12 mar 2009, o 01:30

Przepisz to zadanie raz jeszcze, tym razem poprawnie:)

c) fałszywe, bo biorąc funkcję \(\displaystyle{ x(t) = 2t - 1}\) mamy \(\displaystyle{ ||x|| = 1}\) oraz \(\displaystyle{ |f(x)| = |-1-1| = 2}\).

d) to jest zadania z Analizy I - pytanie brzmi, czy ten ciąg funkcji jest zbieżny jednostajnie na odcinku [0,1].

lewis83
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 10 mar 2009, o 23:08
Płeć: Mężczyzna

Normy.

Post autor: lewis83 » 12 mar 2009, o 15:27

A jak odpowiedzi a i b?-- 12 mar 2009, o 15:33 --Czy ktos ma pomysl na te zadania?

ODPOWIEDZ