Ciągłość miary Lebesgue'a
: 11 mar 2009, o 01:37
Witam wszystkich miłośników matematyki. Właśnie przygotowuję się do egzaminu z analizy funkcjonalnej i mam problem z zadaniem. Czy szanowne grono matematyków mogłoby mi udzielić wskazówek do rozwiązania tego zadanie:
Niech \(\displaystyle{ L^{p}[0,1]=\{ f:[0,1] \longrightarrow \mathbb{C}:\int|f|^{p}d\lambda<+\infty \}}\) dla \(\displaystyle{ 0<p<\infty}\) gdzie \(\displaystyle{ \lambda}\) jest miarą Lebesgue'a, a \(\displaystyle{ C[0,1]=\{ f:[0,1] \longrightarrow \mathbb{C}:f jest ciagla \}}\). Które z poniższych zdań jest prawdziwe, a które fałszywe?
a) Odwzorowanie \(\displaystyle{ Id:C[0,1] \longrightarrow L^{1}[0,1]}\) , \(\displaystyle{ Id(f)=f}\)jest ciągłe.
b) Odwzorowanie \(\displaystyle{ Id^{-1}:Id(C[0,1]) \longrightarrow C[0,1]}\) gdzie \(\displaystyle{ Id:C[0,1] \longrightarrow L^{1}[0,1]}\), \(\displaystyle{ Id(f)=f}\) jest ciągłe
c)Przestrzenie \(\displaystyle{ L^{p}[0,1]}\) są przestrzeniami Frecheta dla \(\displaystyle{ p\in(0,\infty)}\)
d)Przestrzenie \(\displaystyle{ L^{p}[0,1]}\) sa normowalne dla \(\displaystyle{ p\in(0,\infty)}\)
e)Kule otwarte w \(\displaystyle{ L^{p}[0,1]}\)są wypukłe dla \(\displaystyle{ p\in(0,\infty)}\)
f)Dla \(\displaystyle{ p\in(0,\infty)}\) przestrzenie \(\displaystyle{ L^{p}[0,1]}\) są przestrzeniami Banacha, ale \(\displaystyle{ C[0,1]}\) nie jest przestrzenią Banacha.
Niech \(\displaystyle{ L^{p}[0,1]=\{ f:[0,1] \longrightarrow \mathbb{C}:\int|f|^{p}d\lambda<+\infty \}}\) dla \(\displaystyle{ 0<p<\infty}\) gdzie \(\displaystyle{ \lambda}\) jest miarą Lebesgue'a, a \(\displaystyle{ C[0,1]=\{ f:[0,1] \longrightarrow \mathbb{C}:f jest ciagla \}}\). Które z poniższych zdań jest prawdziwe, a które fałszywe?
a) Odwzorowanie \(\displaystyle{ Id:C[0,1] \longrightarrow L^{1}[0,1]}\) , \(\displaystyle{ Id(f)=f}\)jest ciągłe.
b) Odwzorowanie \(\displaystyle{ Id^{-1}:Id(C[0,1]) \longrightarrow C[0,1]}\) gdzie \(\displaystyle{ Id:C[0,1] \longrightarrow L^{1}[0,1]}\), \(\displaystyle{ Id(f)=f}\) jest ciągłe
c)Przestrzenie \(\displaystyle{ L^{p}[0,1]}\) są przestrzeniami Frecheta dla \(\displaystyle{ p\in(0,\infty)}\)
d)Przestrzenie \(\displaystyle{ L^{p}[0,1]}\) sa normowalne dla \(\displaystyle{ p\in(0,\infty)}\)
e)Kule otwarte w \(\displaystyle{ L^{p}[0,1]}\)są wypukłe dla \(\displaystyle{ p\in(0,\infty)}\)
f)Dla \(\displaystyle{ p\in(0,\infty)}\) przestrzenie \(\displaystyle{ L^{p}[0,1]}\) są przestrzeniami Banacha, ale \(\displaystyle{ C[0,1]}\) nie jest przestrzenią Banacha.