Witam wszystkich miłośników matematyki. Właśnie przygotowuję się do egzaminu z analizy funkcjonalnej i mam problem z zadaniem. Czy szanowne grono matematyków mogłoby mi udzielić wskazówek do rozwiązania tego zadanie:
Niech \(\displaystyle{ L^{p}[0,1]=\{ f:[0,1] \longrightarrow \mathbb{C}:\int|f|^{p}d\lambda<+\infty \}}\) dla \(\displaystyle{ 0<p<\infty}\) gdzie \(\displaystyle{ \lambda}\) jest miarą Lebesgue'a, a \(\displaystyle{ C[0,1]=\{ f:[0,1] \longrightarrow \mathbb{C}:f jest ciagla \}}\). Które z poniższych zdań jest prawdziwe, a które fałszywe?
a) Odwzorowanie \(\displaystyle{ Id:C[0,1] \longrightarrow L^{1}[0,1]}\) , \(\displaystyle{ Id(f)=f}\)jest ciągłe.
b) Odwzorowanie \(\displaystyle{ Id^{-1}:Id(C[0,1]) \longrightarrow C[0,1]}\) gdzie \(\displaystyle{ Id:C[0,1] \longrightarrow L^{1}[0,1]}\), \(\displaystyle{ Id(f)=f}\) jest ciągłe
c)Przestrzenie \(\displaystyle{ L^{p}[0,1]}\) są przestrzeniami Frecheta dla \(\displaystyle{ p\in(0,\infty)}\)
d)Przestrzenie \(\displaystyle{ L^{p}[0,1]}\) sa normowalne dla \(\displaystyle{ p\in(0,\infty)}\)
e)Kule otwarte w \(\displaystyle{ L^{p}[0,1]}\)są wypukłe dla \(\displaystyle{ p\in(0,\infty)}\)
f)Dla \(\displaystyle{ p\in(0,\infty)}\) przestrzenie \(\displaystyle{ L^{p}[0,1]}\) są przestrzeniami Banacha, ale \(\displaystyle{ C[0,1]}\) nie jest przestrzenią Banacha.
Ciągłość miary Lebesgue'a
-
liu
- Użytkownik
- Posty: 1330
- Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Suchedniów
- Pomógł: 104 razy
Ciągłość miary Lebesgue'a
a) Identyczność jest odwzorowaniem liniowym, zatem wystarczy wykazać ciągłość w zerze. Niech \(\displaystyle{ f_n \to 0}\) w C([0,1]). Wtedy
\(\displaystyle{ || f_n ||_{L^1} = \int_0^1 |f_n(t)|dt \leq \sup \{|f_n(t)|: t\in [0,1]\} = ||f_n||_{sup},}\)
zatem \(\displaystyle{ f_n\to 0}\) w \(\displaystyle{ L^1}\).
b) Nie. Poszukaj funkcji, które przyjmują wartości od 0 do 1 i mają dowolnie małą całkę z modułu (jakieś takie z coraz węższymi szpicami).
c, d, e) dla \(\displaystyle{ 1\leq p < \infty}\) to są przestrzenie Banacha z normą \(\displaystyle{ ||f||_{L^p} := \left( \int_0^1 |f(x)|^p dx\right)^{1/p}}\). Dla p<1 trzeba jakoś zakombinować, napiszę później.
Napisz może trochę swoich definicji, bo jak dla mnie to \(\displaystyle{ C([a,b])}\) jest przestrzenią Banacha (z normą sup) - żeby to udowodnić (tzn. w sumie to zupełność), to można jakoś tak:
\(\displaystyle{ |f_n(x) - f_m(x)| \leq ||f_n - f_m||_{sup},}\)
zatem dla wszystkich x ciągi liczbowe \(\displaystyle{ f_n(x)}\) są Cauchy'ego, czyli zbieżne (bo C jest zupełna). Możemy więc określić funkcję \(\displaystyle{ f\colon [0,1]\to \mathbb{C}}\) wzorem
\(\displaystyle{ f(x) = \lim f_n(x).}\)
Teraz jest główna trudność dowodu, czyli trzeba jakoś pracowicie wykazać, że to f jest ciągłe i że serio mamy zbieżność jednostajną.
\(\displaystyle{ || f_n ||_{L^1} = \int_0^1 |f_n(t)|dt \leq \sup \{|f_n(t)|: t\in [0,1]\} = ||f_n||_{sup},}\)
zatem \(\displaystyle{ f_n\to 0}\) w \(\displaystyle{ L^1}\).
b) Nie. Poszukaj funkcji, które przyjmują wartości od 0 do 1 i mają dowolnie małą całkę z modułu (jakieś takie z coraz węższymi szpicami).
c, d, e) dla \(\displaystyle{ 1\leq p < \infty}\) to są przestrzenie Banacha z normą \(\displaystyle{ ||f||_{L^p} := \left( \int_0^1 |f(x)|^p dx\right)^{1/p}}\). Dla p<1 trzeba jakoś zakombinować, napiszę później.
Napisz może trochę swoich definicji, bo jak dla mnie to \(\displaystyle{ C([a,b])}\) jest przestrzenią Banacha (z normą sup) - żeby to udowodnić (tzn. w sumie to zupełność), to można jakoś tak:
\(\displaystyle{ |f_n(x) - f_m(x)| \leq ||f_n - f_m||_{sup},}\)
zatem dla wszystkich x ciągi liczbowe \(\displaystyle{ f_n(x)}\) są Cauchy'ego, czyli zbieżne (bo C jest zupełna). Możemy więc określić funkcję \(\displaystyle{ f\colon [0,1]\to \mathbb{C}}\) wzorem
\(\displaystyle{ f(x) = \lim f_n(x).}\)
Teraz jest główna trudność dowodu, czyli trzeba jakoś pracowicie wykazać, że to f jest ciągłe i że serio mamy zbieżność jednostajną.
Ciągłość miary Lebesgue'a
Dzieki bardzo za podpowiedz, bardzo pomogles. Jeżeli bedziesz miał jakis pomysl to prosze o pisanie.
-
Nty
- Użytkownik
- Posty: 66
- Rejestracja: 26 maja 2007, o 23:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Dąbrowa Górnicza
- Pomógł: 24 razy
Ciągłość miary Lebesgue'a
c) nie prawda dla \(\displaystyle{ 0<p<1}\) nie mamy lokalnej wypukłości, z czego rodzą się zresztą różne patologie w tej przestrzeni.
d) nie prawda dla \(\displaystyle{ 0<p<1}\) nie jest normowalna.
e) nie prawda, jedynymi zbiorami wypukłymi i otwartymi w przestrzeni \(\displaystyle{ L^{p}[0,1]}\), gdzie \(\displaystyle{ 0<p<1}\), są zbiór pusty i cała przestrzeń.
f) nie prawda, w \(\displaystyle{ L^{p}[0,1]}\) dla \(\displaystyle{ p \in (0, 1)}\) dane odwzorowanie nie jest normą, a przecież przestrzeń Banacha to unormowana przestrzeń zupełna.
Pozatym pozdrowienie dla konkurencyjnego forum
d) nie prawda dla \(\displaystyle{ 0<p<1}\) nie jest normowalna.
e) nie prawda, jedynymi zbiorami wypukłymi i otwartymi w przestrzeni \(\displaystyle{ L^{p}[0,1]}\), gdzie \(\displaystyle{ 0<p<1}\), są zbiór pusty i cała przestrzeń.
f) nie prawda, w \(\displaystyle{ L^{p}[0,1]}\) dla \(\displaystyle{ p \in (0, 1)}\) dane odwzorowanie nie jest normą, a przecież przestrzeń Banacha to unormowana przestrzeń zupełna.
Pozatym pozdrowienie dla konkurencyjnego forum
Ciągłość miary Lebesgue'a
Dzięukuje bardzo za pomoc. Napisalem równiez na innym forum tylko dlatego bo zależy mi na zdaniu tego egzaminu, a mam problemy z tym przedmiotem. Jeszcze raz serdecznie dziekuje i pozdrawiam.