Ciągłość miary Lebesgue'a

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
lewis83
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 10 mar 2009, o 23:08
Płeć: Mężczyzna

Ciągłość miary Lebesgue'a

Post autor: lewis83 » 11 mar 2009, o 01:37

Witam wszystkich miłośników matematyki. Właśnie przygotowuję się do egzaminu z analizy funkcjonalnej i mam problem z zadaniem. Czy szanowne grono matematyków mogłoby mi udzielić wskazówek do rozwiązania tego zadanie:
Niech \(\displaystyle{ L^{p}[0,1]=\{ f:[0,1] \longrightarrow \mathbb{C}:\int|f|^{p}d\lambda<+\infty \}}\) dla \(\displaystyle{ 0<p<\infty}\) gdzie \(\displaystyle{ \lambda}\) jest miarą Lebesgue'a, a \(\displaystyle{ C[0,1]=\{ f:[0,1] \longrightarrow \mathbb{C}:f jest ciagla \}}\). Które z poniższych zdań jest prawdziwe, a które fałszywe?
a) Odwzorowanie \(\displaystyle{ Id:C[0,1] \longrightarrow L^{1}[0,1]}\) , \(\displaystyle{ Id(f)=f}\)jest ciągłe.
b) Odwzorowanie \(\displaystyle{ Id^{-1}:Id(C[0,1]) \longrightarrow C[0,1]}\) gdzie \(\displaystyle{ Id:C[0,1] \longrightarrow L^{1}[0,1]}\), \(\displaystyle{ Id(f)=f}\) jest ciągłe
c)Przestrzenie \(\displaystyle{ L^{p}[0,1]}\) są przestrzeniami Frecheta dla \(\displaystyle{ p\in(0,\infty)}\)
d)Przestrzenie \(\displaystyle{ L^{p}[0,1]}\) sa normowalne dla \(\displaystyle{ p\in(0,\infty)}\)
e)Kule otwarte w \(\displaystyle{ L^{p}[0,1]}\)są wypukłe dla \(\displaystyle{ p\in(0,\infty)}\)
f)Dla \(\displaystyle{ p\in(0,\infty)}\) przestrzenie \(\displaystyle{ L^{p}[0,1]}\) są przestrzeniami Banacha, ale \(\displaystyle{ C[0,1]}\) nie jest przestrzenią Banacha.

liu
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1330
Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów
Pomógł: 104 razy

Ciągłość miary Lebesgue'a

Post autor: liu » 12 mar 2009, o 01:47

a) Identyczność jest odwzorowaniem liniowym, zatem wystarczy wykazać ciągłość w zerze. Niech \(\displaystyle{ f_n \to 0}\) w C([0,1]). Wtedy
\(\displaystyle{ || f_n ||_{L^1} = \int_0^1 |f_n(t)|dt \leq \sup \{|f_n(t)|: t\in [0,1]\} = ||f_n||_{sup},}\)
zatem \(\displaystyle{ f_n\to 0}\) w \(\displaystyle{ L^1}\).

b) Nie. Poszukaj funkcji, które przyjmują wartości od 0 do 1 i mają dowolnie małą całkę z modułu (jakieś takie z coraz węższymi szpicami).

c, d, e) dla \(\displaystyle{ 1\leq p < \infty}\) to są przestrzenie Banacha z normą \(\displaystyle{ ||f||_{L^p} := \left( \int_0^1 |f(x)|^p dx\right)^{1/p}}\). Dla p<1 trzeba jakoś zakombinować, napiszę później.

Napisz może trochę swoich definicji, bo jak dla mnie to \(\displaystyle{ C([a,b])}\) jest przestrzenią Banacha (z normą sup) - żeby to udowodnić (tzn. w sumie to zupełność), to można jakoś tak:
\(\displaystyle{ |f_n(x) - f_m(x)| \leq ||f_n - f_m||_{sup},}\)
zatem dla wszystkich x ciągi liczbowe \(\displaystyle{ f_n(x)}\) są Cauchy'ego, czyli zbieżne (bo C jest zupełna). Możemy więc określić funkcję \(\displaystyle{ f\colon [0,1]\to \mathbb{C}}\) wzorem
\(\displaystyle{ f(x) = \lim f_n(x).}\)
Teraz jest główna trudność dowodu, czyli trzeba jakoś pracowicie wykazać, że to f jest ciągłe i że serio mamy zbieżność jednostajną.

lewis83
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 10 mar 2009, o 23:08
Płeć: Mężczyzna

Ciągłość miary Lebesgue'a

Post autor: lewis83 » 12 mar 2009, o 15:31

Dzieki bardzo za podpowiedz, bardzo pomogles. Jeżeli bedziesz miał jakis pomysl to prosze o pisanie.

Awatar użytkownika
Nty
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 26 maja 2007, o 23:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dąbrowa Górnicza
Pomógł: 24 razy

Ciągłość miary Lebesgue'a

Post autor: Nty » 13 mar 2009, o 16:26

c) nie prawda dla \(\displaystyle{ 0<p<1}\) nie mamy lokalnej wypukłości, z czego rodzą się zresztą różne patologie w tej przestrzeni.
d) nie prawda dla \(\displaystyle{ 0<p<1}\) nie jest normowalna.
e) nie prawda, jedynymi zbiorami wypukłymi i otwartymi w przestrzeni \(\displaystyle{ L^{p}[0,1]}\), gdzie \(\displaystyle{ 0<p<1}\), są zbiór pusty i cała przestrzeń.
f) nie prawda, w \(\displaystyle{ L^{p}[0,1]}\) dla \(\displaystyle{ p \in (0, 1)}\) dane odwzorowanie nie jest normą, a przecież przestrzeń Banacha to unormowana przestrzeń zupełna.

Pozatym pozdrowienie dla konkurencyjnego forum

lewis83
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 10 mar 2009, o 23:08
Płeć: Mężczyzna

Ciągłość miary Lebesgue'a

Post autor: lewis83 » 13 mar 2009, o 19:32

Dzięukuje bardzo za pomoc. Napisalem równiez na innym forum tylko dlatego bo zależy mi na zdaniu tego egzaminu, a mam problemy z tym przedmiotem. Jeszcze raz serdecznie dziekuje i pozdrawiam.

ODPOWIEDZ