Badanie zbieżności

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
Matematyk99xx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 31 mar 2020, o 19:15
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Podziękował: 13 razy

Badanie zbieżności

Post autor: Matematyk99xx » 10 cze 2021, o 19:27

Mam zbadać zbieżność ciągu \(\displaystyle{ (x_n)}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ l_{\infty}}\) takiego, że \(\displaystyle{
x_n(k):= \left\{ \begin{array}{ll}
\frac{1}{kn} , & \textrm{gdy $k\leq n$}\\
0, & \textrm{gdy $k>n $}
\end{array} \right.
}\)
dla \(\displaystyle{ k,n \in \mathbb{N}}\). Szczerze mówiąc myli mnie już ta indeksacja i nie do końca wiem jak wyglądają wyrazy tego ciągu. Czy tutaj \(\displaystyle{ x_1 =(1,0,0,0,....), x_2=( \frac{1}{2}, \frac{1}{4} , 0,0,0,...)}\) czy jednak może \(\displaystyle{ x_1 =(1,0,0,0,....), x_2=( 1, \frac{1}{4} , 0,0,0,...)}\), itd?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3308
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 1142 razy

Re: Badanie zbieżności

Post autor: Janusz Tracz » 10 cze 2021, o 21:34

Matematyk99xx pisze:
10 cze 2021, o 19:27
Mam zbadać zbieżność ciągu \(\displaystyle{ (x_n)}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ l_{\infty}}\) ...
To przypuszczenie ale to mi wygląda na coś takiego \(\displaystyle{ (x_n)_{n=1}^{\infty} \subset \ell_{\infty}}\) i to zbieżność tego ciągu badamy. Zatem przy ustalonym \(\displaystyle{ n\in\NN}\) mamy \(\displaystyle{ x_n\in\ell_{\infty}}\). Teraz pytanie do czego dąży \(\displaystyle{ x_n}\). No i tu można zgadnąć lub policzyć \(\displaystyle{ \|x_n\|_{\ell_{\infty}}}\) by wyznaczyć kandydata. Więc

\(\displaystyle{ \|x_n\|_{\ell_{\infty}} = \sup_{k\in\NN}\left| x_n(k)\right| = \frac{1}{n} \to 0 }\)

zatem \(\displaystyle{ x_n\to (0,0,0,...)}\) w normie \(\displaystyle{ \ell_{\infty}}\).

Matematyk99xx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 31
Rejestracja: 31 mar 2020, o 19:15
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Podziękował: 13 razy

Re: Badanie zbieżności

Post autor: Matematyk99xx » 10 cze 2021, o 22:17

Czyli rozumiem, że takie patrzenie na poszczególne wyrazy ciągu jest zbędne?

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3308
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 1142 razy

Re: Badanie zbieżności

Post autor: Janusz Tracz » 10 cze 2021, o 22:20

Matematyk99xx pisze:
10 cze 2021, o 22:17
Czyli rozumiem, że takie patrzenie na poszczególne wyrazy ciągu jest zbędne?
Patrzenie na poszczególne wyrazy ciągu \(\displaystyle{ x_n(k)}\) jest niezbędne aby stwierdzić, że \(\displaystyle{ \sup_{k\in\NN}\left| x_n(k)\right| = \frac{1}{n}}\). Przecież nie możesz zapomnieć czym są poszczególne elementy \(\displaystyle{ (x_n)_{n=1}^ \infty }\).

ODPOWIEDZ