całka z exp (metodą residuuów?)

[alutka]

Witam. Mam problem z rozwiązaniem takiej całki:
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{2 \pi} t_{- }^{ } \frac{e^{-ikx}}{(1-ik)} dk}\)

Jest to wzór na transformatę odwrotną Fouriera ze wstawioną już funkcją.
Wydaje mi się, że powinno to zostać rozwiązane za pomocą residuów. Rozwiązując tą całkę w ten sposób dostaję takie wyniki:
dla x0: \(\displaystyle{ f(x) = -e^{-x}}\)

Proszę o sprawdzenie czy są one prawidłowe.

[luka52]

A jaka to funkcja ulega tej transformacji (pytam ze względu na ten minus w wykładniku)

[alutka]

\(\displaystyle{ f(k)= \frac{1}{1-ik}}\)

Exp z minusem w wykładniku jest stałą częścią transformaty odwrotnej (tak nas uczą). Bez minusa jest przy normalnej transformacie.

[luka52]

To dziwne;

A całki typu właśnie jak zaprezentowany przez Ciebie przykład oblicza się korzystając z lematu Jordana. Zakładając, że ta całka powinna wyglądać tak

\(\displaystyle{ I \; = \; \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{kix}}{1-ik} \; \mbox d k}\)

(bo naprawdę, ale z minusem przy liczeniu transformaty odwrotnej się niespotkałem)
Ponieważ funkcja podcałkowa ma biegun poniżej osi \(\displaystyle{ \mbox{re} \, k}\), podstawimy \(\displaystyle{ k = -y}\) oraz \(\displaystyle{ x = -x}\).

\(\displaystyle{ I \; = \; \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{yix}}{1+iy} \; \mbox d y}\)

na mocy wspomnianego lematu jest

\(\displaystyle{ I = 2 \pi i \; \mbox{res}_{y = i} \left\{ \frac{e^{yix}}{1+iy} \right\} = 2 \pi e^{-x}, \quad x > 0}\)

[alutka]

No tak, ale przy k=-y automatycznie pojawia się minus przed całością, prawda? (dk = -dy)

[luka52]

Tak, ale też się zmieniają granice całkowania : \(\displaystyle{ -\int_{+\infty}^{-\infty} = + t_{-\infty}^{+\infty}}\).

[alutka]

Tak szczerze, to nie łapię tego ostatniego, co to ma do rzeczy, skoro całkowanie i tak było od \(\displaystyle{ - }\) do \(\displaystyle{ + }\). Można nie zmieniać tych granic na odwrotne i zostawić minus przy wyniku? Tak jak mi wyszło w rozwiązaniu?

[luka52]

Po zamianie zmiennej \(\displaystyle{ k = -y}\) dolna granica całkowania (już po \(\displaystyle{ y}\)) to \(\displaystyle{ +\infty}\). A skoro przy wyznaczaniu różniczek, pojawi się minus (tj. \(\displaystyle{ \mbox d k = - \mbox d y}\)), to można go "użyć", by przywrócić granice całkowania do porządku - od \(\displaystyle{ -\infty}\) do \(\displaystyle{ +\infty}\).

Poza tym, zauważ, że dla \(\displaystyle{ x > 0}\) całka:
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ixk}}{1 - ik} \; \mbox dk \; = \; 0}\)
gdyż całkując po górnym półokręgu (wiadomo jakim?) jedyny punkt osobliwy f. podcałkowej znajduje się poza konturem.

Dla \(\displaystyle{ x < 0}\) (jak już wcześniej pisałem) stosujemy podstawienie \(\displaystyle{ k = -y}\):

\(\displaystyle{ \int_{+\infty}^{-\infty} \frac{e^{-ixy}}{1 + iy} \; (-1) \, \mbox d y = t_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-ixy}}{1 + iy} \; \mbox d y = 2 \pi e^x}\)

Ostatecznie

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} \begin{array}{rcl} e^x & \mbox{dla} & x < 0\\ 0 & \mbox{dla} & x > 0\end{array}\end{cases}}\)