całka z funkcja wykładnicza

[asia1010]

Jak poradzić sobie z taką całką?
\(\displaystyle{ \int \frac{2^{3x}+2^{x}}{2^{x}+1}}\)

[lukasz1804]

Mamy \(\displaystyle{ \int\frac{2^{3x}+2^x}{2^x+1}dx=\int\frac{2^{3x}+2^{2x}-2^{2x}-2^x+2\cdot 2^x}{2^x+1}dx=\int 2^{2x}dx-\int 2^xdx+\int\frac{2^{x+1}}{2^x+1}dx=\frac{4^x}{\ln 4}-\frac{2^x}{\ln 2}+2\int\frac{2^x}{2^x+1}dx=\frac{2^{2x-1}}{\ln 2}-\frac{2^x}{\ln 2}+\frac{2}{\ln 2}\ln(2^x+1)+C}\)

[mat1989]

lukasz1804, a ja przeszedłeś z tego ilorazu do różnicy? bo dalej nie widze:(

[lukasz1804]

\(\displaystyle{ 2^{3x}+2^x=2^{3x}+2^{2x}-2^{2x}-2^x+2\cdot 2^x=2^{2x}(2^x+1)-2^x(2^x+1)+2^{x+1}}\)

[luka52]

mat1989, możesz też po prostu podstawić \(\displaystyle{ t = 2^x}\) - otrzymasz całkę funkcji wymiernej (a to już chyba nie problem?).

[asia1010]

A czy mógłbyś jeszcze wytłumaczyć jak policzyłeś tą ostatnią całkę?

[suervan]

dodajac 1 i odejmujac 1 w liczniku otrzymasz

\(\displaystyle{ 2 t dx - t \frac{1}{2 ^{x} +1}dx}\) co nie stanowi juz chyba problemu... ( ? )

[asia1010]

no szczerze, to stanowi. Bo z tej pierwszej całki przecież wyjdzie 2x a nie ma tego nigdzie w rozwiązaniu. No i jeszcze jak policzyć tą drugą?[/latex]

[soku11]

No bo nie tak sie to rozwiazuje
\(\displaystyle{ \int \frac{2^x}{2^x+1}\mbox{d}x=\left\{\begin{array}{c}
2^x=t\\
2^x\ln 2\mbox{d}x=\mbox{d}t\\
2^x\mbox{d}x=\frac{\mbox{d}t}{\ln 2}
\end{array}\right\}=
\frac{1}{\ln 2} t \frac{\mbox{d}t}{t+1}=
\frac{\ln|t+1|}{\ln 2}+C=
\frac{\ln|2^x+1|}{\ln 2}+C=
\frac{\ln(2^x+1)}{\ln 2}+C}\)

Pozdrawiam.

[mat1989]

soku11, a nie \(\displaystyle{ 2^x+1=t}\)?

[asia1010]

dzieki za pomoc. juz wszystko jasne (tam w dwóch miejscach powinno byc (t+1) i wszystko sie zgadza:)

[soku11]

Poprawilem Pozdrawiam.