obliczenie prostej całki

[isio]

Po nauce liczenia pochodnych zabieram się za całkowanie. Mam problem z takim zadaniem: \(\displaystyle{ \int \frac{(x ^{2} -1) ^{3} }{x} dx}\)

robie
\(\displaystyle{ x ^{2} -1 = t , 2xdx=dt}\)

jak bedzie wyglądała ta całka po podstawieniu ? To, że w liczniki bedzie t to wiem, nie wiem jak postąpic z resztą.

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ =\int \frac{x^{6}-3x^{4}+3x^{2}-1}{x}dx=\int(x^{5}-3x^{3}+3x-\frac{1}{x})dx=\int x^{5}dx-3\int x^{3}dx+3\int xdx - t \frac{dx}{x}=\frac{x^{6}}{6}-\frac{3x^{4}}{4}+\frac{3x^{2}}{2}-ln|x|+C}\)
W tym przypadku podstawienie nie zadziała otrzymasz
\(\displaystyle{ \int \frac{t^{3}dt}{2x^{2}}}\)

[isio]

\(\displaystyle{ \int \frac{xdx}{(x ^{2}+3) ^{6} }}\)

a jak się postępuje w takim przypadku?

[luka52]

Podstawia \(\displaystyle{ t = x^2 + 3}\) (przeważnie ;]).

[isio]

tak, dochodze do takiego czegos:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\int \frac{1}{t ^{6} } dt}\)
i sie zacinam.

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}*\frac{1}{-5*t^{5}}+C}\)

[isio]

\(\displaystyle{ (\frac{1}{-5*t ^{5} })' = \frac{1}{t ^{6} }}\) ???? Jakim cudem skoro to jest iloraz i mianownik podnoszony jest do kwadratu? Nie mówie, że źle bo odpowiedź jest dobra, tylko nie wiem skad to sie bierze....

[soku11]

\(\displaystyle{ \int t^{-6}\mbox{d}t=-\frac{1}{5}t^{-5}+C=\frac{1}{-5t^5}+C\\
ft(\frac{1}{-5t^5}\right)'=
-\frac{1}{5}\left(\frac{1}{t^5}\right)'=
-\frac{1}{5}\frac{-5t^4}{t^{10}}=
\frac{t^4}{t^{10}}=
\frac{1}{t^6}}\)

Wiec wszystko sie zgadza. Pozdrawiam.

[isio]

Zatrzymałem się na czymś takim: \(\displaystyle{ \int \frac{4 \sqrt[4]{5x ^{3} } }{6 \sqrt[3]{x} }dx}\)

[Dedemonn]

\(\displaystyle{ = \frac{4}{6} t \frac{\sqrt[4]{5x^3}}{\sqrt[3]{x}}dx = \frac{2\sqrt[5]{5}}{3} t \frac{x^{\frac{3}{4}}}{x^{\frac{1}{3}}}dx = \frac{2\sqrt[5]{5}}{3} t x^{\frac{3}{4}-\frac{1}{3}}dx = \frac{2\sqrt[5]{5}}{3} t x^{\frac{5}{12}}dx = \frac{2\sqrt[5]{5}}{3} = \frac{2\sqrt[5]{5}}{3} \frac{x^{\frac{17}{12}}}{\frac{17}{12}} + C = \frac{8\sqrt[5]{5}x^{\frac{17}{12}}}{17} + C}\)

[isio]

odpowiedź to \(\displaystyle{ \frac{8}{17} \sqrt[12]{125x ^{17} }}\)
Chyba to nie jest równe temu co obliczył Dedemonn?
Dlaczego po wyciągnieciu pierwiastka przed całke jest \(\displaystyle{ \sqrt[5]{5}, a nie \sqrt[4]{5}}\) ?

[Nakahed90]

isio, masz rację,
\(\displaystyle{ =\frac{8}{17}*(\sqrt[4]{5}*\sqrt[12]{x^{17}})+C=\frac{8}{17}*(\sqrt[12]{125}*\sqrt[12]{x^{17}})+C=\frac{8}{17}*\sqrt[12]{125x^{17}}+C}\)

[Dedemonn]

Bo Dedemonn był śpiący i mu się 4 zmieniło na 5.

Ma być oczywiście \(\displaystyle{ \sqrt[4]{5}}\).

Po tej zmianie wyniki są już tożsame, bo:

\(\displaystyle{ \frac{8}{17}\sqrt[12]{125x^{17}} = \frac{8}{17} \sqrt[12]{125} \sqrt[12]{x^{17}} = \\
= \frac{8}{17} (125)^{\frac{1}{12}} \sqrt[12]{x^{17}} = \frac{8}{17} (5^3)^{\frac{1}{12}} \sqrt[12]{x^{17}} = \frac{8}{17} 5^{\frac{1}{4}} \sqrt[12]{x^{17}} = \\
= \frac{8}{18} \sqrt[4]{5}x^{\frac{17}{12}}}\)

[isio]

\(\displaystyle{ \int \frac{x-1}{ \sqrt[3]{x+1} } dx}\)
ja robie tak:
\(\displaystyle{ \int \frac{x}{ \sqrt[3]{x+1} }dx - t \frac{1}{ \sqrt[3]{x+1} }dx}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{x+1} =t}\)
\(\displaystyle{ x+1=t ^{3}}\)
\(\displaystyle{ dx=3t ^{2} dt}\)

i teraz tą 2 całke wiem jak obliczyć, a 1 niee, bo wystepuje dodatkowy "x". Co robie źle, jak to rozwiązac?

[Dedemonn]

\(\displaystyle{ \int \frac{x-1}{ \sqrt[3]{x+1} } dx}\)

Nic tam nie rozbijamy na 2 całki, bo i po co. Od razu bach podstawienie:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} x+1 = d^3 \ \ x-1 = d^3 - 2 \\ dx = 3d^2\ dd \end{bmatrix} = 3 t \frac{d^2(d^3-2)}{d}dd}\)

Wymnożyć, podzielić każdy składnik przez mianownik i mamy całki elementarne.


Pzdr.