Kolejna prosta całka
Kolejna prosta całka
\(\displaystyle{ \int\frac{x\cos{x}}{\sin^{2}{x}}dx}\)
podstawienie jest oczywiste:
\(\displaystyle{ t=\sin{x}}\)
ale zostaje jeszcze x którego nie wiem jak się pozbyć.
podstawienie jest oczywiste:
\(\displaystyle{ t=\sin{x}}\)
ale zostaje jeszcze x którego nie wiem jak się pozbyć.
Kolejna prosta całka
No to raczej nie działa bo wtedy mamy:
\(\displaystyle{ u'=1}\)
\(\displaystyle{ v=\frac{-1}{\sin{x}}}\)
a więc całka przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ \frac{-x}{\sin{x}}+\int\frac{dx}{\sin{x}}}\)
czyli nawet gorzej niż na początku. Jak się z tego odgrzebać?
\(\displaystyle{ u'=1}\)
\(\displaystyle{ v=\frac{-1}{\sin{x}}}\)
a więc całka przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ \frac{-x}{\sin{x}}+\int\frac{dx}{\sin{x}}}\)
czyli nawet gorzej niż na początku. Jak się z tego odgrzebać?
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Kolejna prosta całka
Może zanim kolejny raz coś takiego napiszesz chociaż spróbujesz to rozwiązać? Takie proste i uniwersalne podstawienie \(\displaystyle{ t = \tan \tfrac{x}{2}}\) rozwiązuje problem.czyli nawet gorzej niż na początku
- Dedemonn
- Użytkownik
- Posty: 689
- Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z kompa
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 137 razy
Kolejna prosta całka
Korzystamy ze wzoru \(\displaystyle{ sinx = 2sin\frac{1}{2}xcos\frac{1}{2}x}\) :Konqer pisze:\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{\sin{x}}}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{sinx} = \frac{1}{2} t \frac{dx}{sin\frac{1}{2}xcos\frac{1}{2}x} =}\)
( mianownik mnożymy przez \(\displaystyle{ \frac{cos\frac{1}{2}x}{cos\frac{1}{2}x}}\) )
\(\displaystyle{ = \frac{1}{2} t \frac{dx}{\frac{sin\frac{1}{2}x}{cos\frac{1}{2}x}cos^2\frac{1}{2}x} = \frac{1}{2} t \frac{dx}{tg\frac{1}{2}x cos^2\frac{1}{2}x} = \begin{bmatrix} tg\frac{1}{2}x = u \\ \frac{dx}{cos^2\frac{1}{2}x} = du \end{bmatrix} = \frac{1}{2} t \frac{du}{t} = ...}\)
Pzdr.
- gufox
- Użytkownik
- Posty: 978
- Rejestracja: 28 paź 2008, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 56 razy
- Pomógł: 89 razy
Kolejna prosta całka
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{sinx }dx = t \frac{sinxdx}{sin ^{2}x }= t \frac{sinxdx}{1-cos ^{2}x } \begin{bmatrix} cosx=t \\ -sinxdx=dt \\ sinxdx=-dt \end{bmatrix}= t \frac{-dt}{1-t ^{2} } = -\int \frac{dt}{1-t ^{2} }= - \frac{1}{2} ln | \frac{1-t}{1+t}|+C}\)
a czy tak mozna probowac? :/
a czy tak mozna probowac? :/
- Dedemonn
- Użytkownik
- Posty: 689
- Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z kompa
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 137 razy
Kolejna prosta całka
\(\displaystyle{ -\int \frac{dt}{1-t ^{2} }= t \frac{dt}{t^2-1} = \frac{1}{2} t \frac{dt}{t-1} - \frac{1}{2} t \frac{dt}{t+1} = \frac{1}{2}(ln|t-1|-ln|t+1|) = \frac{1}{2}ln|\frac{t-1}{t+1}| + C}\)
Więc źle!
Więc źle!
Kolejna prosta całka
A mnie w ogóle wychodzi coś innego bo po zastosowaniu
\(\displaystyle{ t=\tg{\frac{x}{2}}}\)
dochodzę do wyniku
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\int\frac{dx}{t}=\frac{1}{2}\ln{t}+C}\)
Coś nie tak?
\(\displaystyle{ t=\tg{\frac{x}{2}}}\)
dochodzę do wyniku
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\int\frac{dx}{t}=\frac{1}{2}\ln{t}+C}\)
Coś nie tak?
Kolejna prosta całka
ok
\(\displaystyle{ \int\frac{x\cos{x}}{\sin^{2}x}}\)
mnozymy przez części:
\(\displaystyle{ u=x}\) \(\displaystyle{ u'=1}\)
\(\displaystyle{ v'=\frac{\cos{x}}{\sin^{2}{x}}}\) \(\displaystyle{ v=\frac{-1}{\sin{x}}}\)
stąd:
\(\displaystyle{ \int\frac{x\cos{x}}{\sin^{2}x}=\frac{-x}{\sin{x}}+\int\frac{1}{\sin{x}}}\)
bierzemy sama końcowa całkę:
\(\displaystyle{ \int\frac{1}{\sin{x}}=\int\frac{1}{2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}*\frac{\cos{\frac{x}{2}}}{\cos{\frac{x}{2}}}}=}\)
bierzemy podstawienie
\(\displaystyle{ t=\tg{\frac{x}{2}}}\)
\(\displaystyle{ dt=\frac{1}{cos^{2}\frac{x}{2}}}\)
tak więc:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\int\frac{1}{\tg{\frac{x}{2}\cos^{2}x}}=\frac{1}{2}\int\frac{dt}{t}=\frac{1}{2}\ln{|t|} + C=\frac{1}{2}\ln{|\tg{\frac{x}{2}}|}+C}\)
czyli ostatecznie
\(\displaystyle{ \int\frac{x\cos{x}}{\sin^{2}x}=\frac{-x}{\sin{x}}+\frac{1}{2}ln{|\tg{\frac{x}{2}}|}+C}\)
czy to jest pełne i poprawne rozwiązanie?
\(\displaystyle{ \int\frac{x\cos{x}}{\sin^{2}x}}\)
mnozymy przez części:
\(\displaystyle{ u=x}\) \(\displaystyle{ u'=1}\)
\(\displaystyle{ v'=\frac{\cos{x}}{\sin^{2}{x}}}\) \(\displaystyle{ v=\frac{-1}{\sin{x}}}\)
stąd:
\(\displaystyle{ \int\frac{x\cos{x}}{\sin^{2}x}=\frac{-x}{\sin{x}}+\int\frac{1}{\sin{x}}}\)
bierzemy sama końcowa całkę:
\(\displaystyle{ \int\frac{1}{\sin{x}}=\int\frac{1}{2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}*\frac{\cos{\frac{x}{2}}}{\cos{\frac{x}{2}}}}=}\)
bierzemy podstawienie
\(\displaystyle{ t=\tg{\frac{x}{2}}}\)
\(\displaystyle{ dt=\frac{1}{cos^{2}\frac{x}{2}}}\)
tak więc:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\int\frac{1}{\tg{\frac{x}{2}\cos^{2}x}}=\frac{1}{2}\int\frac{dt}{t}=\frac{1}{2}\ln{|t|} + C=\frac{1}{2}\ln{|\tg{\frac{x}{2}}|}+C}\)
czyli ostatecznie
\(\displaystyle{ \int\frac{x\cos{x}}{\sin^{2}x}=\frac{-x}{\sin{x}}+\frac{1}{2}ln{|\tg{\frac{x}{2}}|}+C}\)
czy to jest pełne i poprawne rozwiązanie?