całka

[kujdak]

\(\displaystyle{ \int xsin^{2}x= \begin{cases} x=u \, dv=sin^{2}xdx\\ du=dx \, v=-\frac{1}{2}sinxcosx \end{cases} = ...}\)

całkę: \(\displaystyle{ \int sin^{2}xdx}\) rozbijam na:
\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}sinx+cosx+\int sin^{0}dx= -\frac{1}{2}sinxcosx}\)

\(\displaystyle{ ... = -\frac{1}{2}sinxcosx+\frac{1}{2}\int sinxcosx dx}\) a dalej jak ?

[Dedemonn]

Jeśli chodzi tylko o:

\(\displaystyle{ \int sinxcosx dx}\)

to najzwyczajniej:

\(\displaystyle{ t = sinx \\
dt = cosx\ dx\\
\\
t sinxcosx dx = t t\ dt}\)



PS. Ja bym policzył tak (jeśli to coś pomoże) :

Najpierw liczymy \(\displaystyle{ \int sin^2x\ dx}\) , aby zastosować met. przez części.

- robimy małe przekształcenie, aby nam się łatwiej policzyło:

\(\displaystyle{ 2sin^2x = sin^2x + sin^2x = sin^2x + 1 - cos^2x = -(cos^2x-sin^2x) + 1}\)

więc

\(\displaystyle{ sin^2x = -\frac{1}{2}(cos2x-1)}\)

Podstawiając:

\(\displaystyle{ -\frac{1}{2} t x (cos2x-1)'\ dx = -\frac{xcos2x-1}{2} + \frac{1}{2}\int (cos2x-1)\ dx = \\ = -\frac{xcos2x-1}{2} +\frac{1}{2}( t cos2x\ dx - t dx )}\)

Pierwszą całkę liczymy przez podstawienie \(\displaystyle{ 2x = t}\), a drugą to już nie wiem jak - chyba ze wzorów trygonometrycznych na przekątną sześcianów.


Pzdr.

[kujdak]

\(\displaystyle{ ... = -\frac{1}{2}sinxcosx+\frac{1}{2}\int sinxcosx dx}\)

\(\displaystyle{ sinxcosx=\frac{1}{2}(sin2x)}\)

\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}sinxcosx+\frac{1}{4} t sin2x=-\frac{1}{2}sinxcosx+\frac{1}{4}(-\frac{1}{2}cos2x) +c}\)

a tak by było poprawnie ?

[Dedemonn]

Pewnie.
Ale w tak prostych całkach, gdzie od razu wszystko idealnie wychodzi po jednym podstawieniu, szkoda kombinować.


Pzdr.