Wyprowadzić wzór

[Dedemonn]

Jak w temacie na:

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{sin^nx}}\)

[luka52]

1. \(\displaystyle{ n =2k+1, \; k \mathbb{Z}}\)
   \(\displaystyle{ \int \frac{\mbox d x}{\sin^{2k+1} x} = t \frac{\sin x \; \mbox d x}{\sin^{2k+2} x} = t \frac{-(\cos x)' \, \mbox d x}{(1 - \cos^2 x)^{k+1}} = \ldots}\)
2. \(\displaystyle{ n = 2k+2, \; k \mathbb{Z}}\)
   \(\displaystyle{ I_n = t \frac{\mbox d x}{\sin^n x}}\)
   \(\displaystyle{ I_n = I_{n-2} + t \frac{\cos^2 x }{\sin^{2k+2} x} \; \mbox d x}\)
   
   
   \(\displaystyle{ u = \cos x \quad \mbox d v = \frac{\cos x }{\sin^{2k+2} x} \; \mbox d x}\)
   \(\displaystyle{ \ldots}\)

[przemk20]

\(\displaystyle{ I_n = t \frac{\sin^2x + \cos^2x}{sin^n x} \mbox d x = I_{n-2} +
t \cos x \frac{cos x}{\sin^n x} \mbox d x \\
cos x = u, \ \ \frac{\cos x}{\sin^n x} = \mbox d v \\
-\sin x = \mbox d u, \ \ -\frac{1}{(n-1)sin^{n-1}x}= v \\
I_n= I_{n-2} -\frac{\cos x }{(n-1)\sin^{n-1}x} - \frac{1}{n-1}I_{n-2} =
-\frac{\cos x}{(n-1)\sin^{n-1}x} + \frac{n-2}{n-1} I_{n-2} \\
n\geq 2 \\}\)

[Dedemonn]

Chyba bym nie wpadł na to, że lecąc przez części całkujemy \(\displaystyle{ \frac{cosx}{sin^nx}}\) i na dodatek że jeszcze coś z tego wyjdzie.
Thx.