Strona 1 z 1

calka z arctgx

: 23 gru 2008, o 21:53
autor: renatkan
nie wychodz mi całka, może ktoś może rozwiązać?
dzięki!
\(\displaystyle{ \int}\) \(\displaystyle{ xarctgxdx}\)

calka z arctgx

: 23 gru 2008, o 22:12
autor: sea_of_tears
\(\displaystyle{ \int xarctgx dx =
\begin{cases}
u=arctgx & v^{'}=x \\
u^{'}=\frac{1}{1+x^2} & v=\frac{x^2}{2}
\end{cases}
=\frac{x^2}{2}arctgx -\int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{1+x^2}dx =\newline
\frac{x^2}{2}arctgx - \frac{1}{2}\int \frac{x^2}{1+x^2}dx =
\frac{x^2}{2}arctgx - \frac{1}{2}\int\frac{x^2+1-1}{1+x^2}dx =\newline
\frac{x^2}{2}arctgx - \frac{1}{2}(\int\frac{x^2+1}{1+x^2}dx-\int \frac{1}{1+x^2}dx)=\newline
\frac{x^2}{2}arctgx -\frac{1}{2}\int dx + \frac{1}{2}\int\frac{1}{1+x^2}dx=
\frac{x^2}{2}arctgx-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}arctgx +c}\)