Matematyka.pl

Mam takie zadanie:
\(\displaystyle{ \int (e^{x}+e^{-x})^{2}dx=\int (e^{2x}+2e^{x}e^{-x}+e^{-2x})dx=\int e^{2x}dx+2\int e^{x}e^{-x}dx+\int e^{-2x}dx=\frac{1}{2}e^{2x}+2x-\frac{1}{2}e^{-2}+C}\)
I mam problem bo nie łapię o co chodzi w tym momencie

\(\displaystyle{ \int e^{2x}dx=\frac{1}{2}e^{2x}+C}\)
Może mi to ktoś wytłumaczyć?
Wiem, że jest wzór \(\displaystyle{ \int e^{x}=e^{x}+c}\), ale jak go tu zastosowano?

Podstawiasz:
\(\displaystyle{ \int e^{2x}\mbox{d}x=\left\{\begin{array}{c}
2x=t\\
x=\frac{t}{2}\\
=\frac{1}{2}\mbox{d}t\end{array}\right\}=
\frac{1}{2}\int e^t\mbox{d}t=\frac{1}{2}e^t+C=
\frac{1}{2}e^{2x}+C}\)

Pozdrawiam

Mam takie zadanie:

\(\displaystyle{ \int x^2 \arctg x dx=
\begin{bmatrix} u=\arctan x & u'=\frac{dx}{1+x^{2}}\\
v'=x^{2}dx & v=\frac{x^{3}}{3} \end{bmatrix}
=\frac {x^{3} \arctan x}{3}-\frac{1}{3} t \frac{x^{3}dx}{1+x^{2}}=
\frac {x^{3} \arctan x}{3}-\frac{1}{3} t (x+ \frac{x}{1+x^{2}})dx= ...}\)

I tam dalej jest rozwiązanie.
Mam pytanie jak to uproszczono? jakiś wzór? Mógłby mi to ktoś wytłumaczyć :

\(\displaystyle{ \int \frac{x^{3}dx}{1+x^{2}}= t (x+ \frac{x}{1+x^{2}})dx}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{x^{3}dx}{1+x^{2}}}\)

to jest całka z funkcji wymiernej, jeśli stopień licznika jest większy od stopnia mianownika to wtedy dzieli się licznik przez mianownik

i jak by co to powinno być :

\(\displaystyle{ \int (x- \frac{x}{1+x^{2}})dx}\)

a mógłbyś to rozpisać

najpierw wykonujesz dzielenie wielomianów:
\(\displaystyle{ x ^{3} : x ^{2}+1}\) wychodzi x i reszt : -x
\(\displaystyle{ \int \frac{x ^{3} }{1+x ^{2} } = t (x- \frac{x}{1+x ^{2} } )dx = t x dx - t \frac{x}{1+x ^{2} }= \frac{1}{2} x ^{2} - \frac{1}{2} \ln(1+x ^{2} ) +C}\)

jak byś nie wiedział to \(\displaystyle{ \int \frac{x}{1+x ^{2} } = \frac{1}{2} t \frac{2x}{1+x ^{2} }dx}\)
a dalej to korzystamy ze wzoru:
\(\displaystyle{ \int \frac{f'(x) }{f(x)} dx = \ln |f(x)| + C}\)

Dzięki wielkie, teraz już rozumiem

jjarkus pisze:Mam takie zadanie:

\(\displaystyle{ \int x^2 \arctg x dx=
\begin{bmatrix} u=\arctan x & u'=\frac{dx}{1+x^{2}}\\
v'=x^{2}dx & v=\frac{x^{3}}{3} \end{bmatrix}
=\frac {x^{3} \arctan x}{3}-\frac{1}{3} t \frac{x^{3}dx}{1+x^{2}}=
\frac {x^{3} \arctan x}{3}-\frac{1}{3} t (x+ \frac{x}{1+x^{2}})dx= ...}\)

I tam dalej jest rozwiązanie.
Mam pytanie jak to uproszczono? jakiś wzór? Mógłby mi to ktoś wytłumaczyć :

tutaj nie rozumiem, czemu to nie jest po prostu \(\displaystyle{ \int x^3 dx}\)?

mat1989, nie została wyświetlona funkcja arctg - bo nie ma takiej. Przykład powinien wyglądać tak \(\displaystyle{ \int x^2 \arctan x \; \mbox dx}\).