Wzor na sume (powtorka przypadkiem skasowanego topicu)

[Zlodiej]

Przepraszam ale jeden z moderatorów przez jeden niepotrzebny post pewnego usera pomylił to zadanie z drugim zadaniem OM

Podaj wzór na sumę: 1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ n^2 = ?
Rozwiązanie
Należy najpierw znaleźć wzór na różnicę sześcianów dwóch kolejnych liczb naturalnych:
(n+1)^3-n^3=n^3+3n^2+3n+1-n^3=3n^2+3n+1
A teraz po kolei wypisuje w słupku różnice:
2^3-1^3=3*1^2+3*1+1
3^3-2^3=3*2^2+3*2+1
4^3-3^3=3*3^2+3*3+1
:
(n+1)^3-n^3=3*n^2+3*n+1
Teraz po zsumowaniu lewej i prawej strony:
(n+1)^3-1^3=
3(1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ n^2)+ 3(1+2+3+...+n)+1
(i w tym miejscu mam dylemat , dlaczego gdy sumujemy prawą strone nie zsumujemy tych jedynek n razy tylko jest po zsumowaniu jedna jedynka przeciez jedynki tez sumujemy? nie powinno byc na koncu n jedynek zadanie to jest rozwiązane przez matematyka tylko nie rozumiem tej "jedynki" )
Szukana suma (S)
Teraz pozostało tylko obliczyć S z tego równania. Po przekształceniach wzór ten wygląda następująco:
S=[ n(n+1)(2n+1) ] / 6
Ten sposób jest użyteczny, ponieważ można nim wyznaczyć wzory na sumy np.
1^3+2^3+3^3+...+n^3 lub na 1+2+3+...+n. w jaki sposob wyznaczyc te sumy w podobny sposob ? czy ktos moglby napisac dla przykadu jedną sume?
[/b]


Przeprosiny od Skrzypu

[Yavien]

Ja nie jestem pewna, czy dobrze rozumiem, jakie jest pytanie... Ale:
1. masz racje, tam powinno byc na koncu n zamiast 1

2. Dla przykladu? Przeciez to jest wlasnie przyklad
Ale niech bedzie, 1 + 2 + 3 + ... + n oblicze, bo mniej pisania.

(n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1
A teraz po kolei wypisuje w słupku różnice:
2^2-1^2=2*1 + 1
3^2-2^2=2*2 + 1
4^2-3^2=2*3 + 1
:
(n+1)^2-n^2=2*n +1
Teraz po zsumowaniu lewej i prawej strony:
(n+1)^2 - 1^2 = 2*(1 + 2 + 3 + ... + n) + n
czyli
2(1 + 2 + 3 + ... + n) = (n+1)^2 - 1 - n = (n+1)*(n+1) - (n+1) = (n+1)*(n+1 - 1) = (n+1)*n
Czyli
(1 + 2 + 3 + ... + n) = (n+1)*n/2