Objętość bryły ograniczonej walcami kołowymi- do srawdzenia

[donbogdan]

Obliczyć objętość bryły ograniczonej walcami kołowymi \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2}=4, y^{2} + z^{2}=4}\)

a więc wyliczyłem to tak:
\(\displaystyle{ 8\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} }[ t_{0}^{2} (\int_{0}^{ \sqrt{4- y^{2} } } dz)dy]dx}\)
\(\displaystyle{ 8\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} }[ t_{0}^{2}{ \sqrt{4- r^{2}\sin^2 \theta } } rdr]d\theta}\)
teraz pokrewieństwo zrobiłem tak:
\(\displaystyle{ d({4- r^{2}\sin^2 \theta })= -2r\sin^2 \theta}\)
całka wyszła tak:
\(\displaystyle{ -4\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \frac{1}{sin^2 \theta} t_{0}^{2} (4- r^{2}\sin^2 \theta)^{ \frac{1}{2} }d(4- r^{2}\sin^2 \theta)}\)
a tu wyłapuje zonka:
\(\displaystyle{ - \frac{8}{3}\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \frac{1}{sin^2 \theta} [-4{sin^2 \theta}]^{ \frac{3}{2} }d\theta}\)
no i teraz nie wiem dalej zbytnio jak sobie poradzić, bo tu ujemny pierwiastek niby wychodzi i w ogóle jak to całkować też nie mam weny

pytanie podstawowe czy do momentu znoka dobrą metodą jadę, pytanie za 100 punktów co z zonkiem?


edit3: 64/3 mi wyszło :E

[bedbet]

Ostatnia całka jest źle policzona. Powinno być:

\(\displaystyle{ -\frac{8}{3}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} ft((4-4\sin^2\theta)^{\frac{3}{2}}-4^{\frac{3}{2}}\right)\frac{d\theta}{\sin^2\theta}}\)