Całka powierzchniowa zorientowana

[Dziura-LBN]

Witam. Mam problem z jednym zadaniem. Trzeba policzyć całkę:
\(\displaystyle{ \iint_{S}xdydz + ydzdx + zdxdy}\)
gdzie S jest zewnętrzną stroną powierzchni:
\(\displaystyle{ z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\)
\(\displaystyle{ 0\leqslant z\leqslant1}\).

Wiadomo, jest to stożek i trzeba policzyć całkę objętościową (zamieniając z wzoru Gaussa-Ostrogradskiego) po tym stożku plus dodać całkę po kole, czyli tak jakby nakrętke na ten stożek w plaszczyznie z=1. No to pierwsza część jest łatwa i problem mam z tą drugą. Nie chodzi mi o techniczną stronę obliczeń tylko o sam wygląd tej całki. Policzyć sobie umiem.

Będzie to całkowanie po kole D: \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}\leqslant1}\) w obu przypadkach, tylko ktory wlasciwy:
1) \(\displaystyle{ \iint_{D}(x+y+z)dxdy}\), gdzie z=1,
2) \(\displaystyle{ \iint_{D}zdxdy}\), gdzie z=1.

Jezeli ktos wie to czekam na podpowiedz...

[luka52]

Wiadomo, jest to stożek i trzeba policzyć całkę objętościową (zamieniając z wzoru Gaussa-Ostrogradskiego) po tym stożku plus dodać całkę po kole,

Raczej odjąć. I to odjąć całkę 2).

PS. \(\displaystyle{ D = \{ (x,y,z) \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 qslant 1, \; \, \boxed{z= 1} \}}\)

[Dziura-LBN]

faktycznie odjąć, mój błąd...

ale jeśli chodzi o wygląd tej odejmowanej całki:
wg Ciebie będzie to: \(\displaystyle{ \iint_{D}zdxdy}\), gdzie \(\displaystyle{ z=1}\). Czyli zwykłe pole koła. Ale tylko w tym przypadku, kiedy \(\displaystyle{ z=1}\). Jeśli będziemy rozpatrywać tą samą całkę podstawową, względem tej samej powierzchni stożka, z tym, że przesuniemy ją o [0,0,1], to całka objętościowa z wzoru Gaussa-Ostrogradskiego będzie niezmienna, ale już ta odejmowana całka będzie miała różne wartości, np. dla [0,0,1] będą to dwa pola koła, dla [0,0,-1] będzie wynosić 0. Zmienna \(\displaystyle{ z}\) będzie przyjmować różne wartości...

Czy to normalne? Czy nie powinniśmy odejmować zwykłej całki powdwójnej po kole \(\displaystyle{ \iint_{D}dxdy}\), bez uwzględniania z, czy faktycznie trzeba uwzględniać wygląd całki podstawowej, gdzie ewidentnie przy \(\displaystyle{ dxdy}\) jest zmienna \(\displaystyle{ z}\) i trzeba podstawiać jej wartość...

[luka52]

Mamy odjąć całkę powierzchniową:
\(\displaystyle{ \iint_D [x,y,z] \circ [ \mbox d y \, \mbox d z , \mbox d z \, \mbox d x , \mbox d x \, \mbox d y]}\)
Jednak nie trudno zauważyć, że \(\displaystyle{ \mbox d z = 0}\), więc powyższa całka redukuje się do:
\(\displaystyle{ \iint_D z \, \mbox d x \, \mbox d y}\)
Obszarem, po którym całkujemy jest koło o promieniu 1 równoległe do płaszczyzny Oxy i oddalone od niej o 1. Zatem w każdym punkcie obszaru D jest \(\displaystyle{ z = 1}\). Obliczenia rzeczywiście sprowadzją się do obliczenia pola tego koła.

[Dziura-LBN]

czyli jest to normalne, że przesuwając ten stożek o [0,0,1], albo o [0,0,-1] będziemy otrzymywać różne wyniki, mimo, że stożek wygląda tak samo, choć jest w innym położeniu?

[luka52]

Oczywiście, przecież wraz z innym położeniem powierzchni zmieniać się będzie strumień przezeń.