Brak pomysłu na całkę

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
kej.ef
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 162
Rejestracja: 14 sie 2004, o 19:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mathland
Podziękował: 2 razy

Brak pomysłu na całkę

Post autor: kej.ef »

Ma ktoś jakieś sugestie jak policzyć tę całkę:

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(1+x^2)^2}}\)
Awatar użytkownika
bolo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2470
Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BW
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 191 razy

Brak pomysłu na całkę

Post autor: bolo »

Można też skorzystać ze wzoru rekurencyjnego dla \(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(1+x^2)^n}}\)
Awatar użytkownika
abrasax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 844
Rejestracja: 20 maja 2005, o 13:19
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Zabrze
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 161 razy

Brak pomysłu na całkę

Post autor: abrasax »

lub metoda Ostrogradskiego-Gaussa obniżenia stopnia wielomianu
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{(1+x^2)^2}dx=\frac{Ax+B}{1+x^2}+C\int \frac{1}{1+x^2}dx}\)
równanie trzeba zróżniczkować i porównać otrzymane wielomiany,
co daje:
\(\displaystyle{ 1/2\frac{x}{1+x^2}+1/2 \int\frac{1}{1+x^2}dx}\)
a dalej nie wymaga komentarza
kej.ef
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 162
Rejestracja: 14 sie 2004, o 19:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mathland
Podziękował: 2 razy

Brak pomysłu na całkę

Post autor: kej.ef »

1. Co za wzor rekurencyjny?
2. Nie rozumiem tej równości:
abrasax pisze: \(\displaystyle{ \int \frac{1}{(1+x^2)^2}dx=\frac{Ax+B}{1+x^2}+C\int \frac{1}{1+x^2}dx}\)
Mbach
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 327
Rejestracja: 3 lis 2004, o 16:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: braku inwencji
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 25 razy

Brak pomysłu na całkę

Post autor: Mbach »

Ta metoda jest opisana w "rachunku różniczkowym i całkowym Fichtenholza". Nie jest tak bardzo zrozumiała, ale w każdym razie bardzo efektowna
Awatar użytkownika
abrasax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 844
Rejestracja: 20 maja 2005, o 13:19
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Zabrze
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 161 razy

Brak pomysłu na całkę

Post autor: abrasax »

Wzór Ostrogradskiego:
\(\displaystyle{ \int \frac{ax+b}{(x^2+px+q)^k} dx = \frac{Ax+B}{(x^2+px+q)^{k-1}} + C \int \frac{1}{(x^2+px+q)^{k-1}} dx}\)
kej.ef
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 162
Rejestracja: 14 sie 2004, o 19:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mathland
Podziękował: 2 razy

Brak pomysłu na całkę

Post autor: kej.ef »

Świetnie, tego wzoru do tej pory jeszcze nie widziałem. Dzięki.

Prosze powiedz mi jeszcze w jaki sposób dobieramy współczynniki A,B,C.
Awatar użytkownika
abrasax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 844
Rejestracja: 20 maja 2005, o 13:19
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Zabrze
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 161 razy

Brak pomysłu na całkę

Post autor: abrasax »

> równanie trzeba zróżniczkować i porównać otrzymane wielomiany

[ Dodano: Czw Wrz 22, 2005 10:16 pm ]
\(\displaystyle{ \frac{1}{(1+x^2)^2}=\frac{A(1+x^2)-(Ax+B)2x}{(1+x^2)^2}+\frac{C}{1+x^2}}\)
\(\displaystyle{ 1=A(1+x^2)-(Ax+B)2x+C(1+x^2)}\)
\(\displaystyle{ 1=x^2(C-A)+x(-2B)+(C+A)}\)
porównujemy współczynniki po lewej i prawej stronie:
0=C-A
0=-2B
1=C+A
z tego A=C=1/2
kej.ef
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 162
Rejestracja: 14 sie 2004, o 19:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mathland
Podziękował: 2 razy

Brak pomysłu na całkę

Post autor: kej.ef »

Wielkie dzięki
Ptolemeusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 365
Rejestracja: 11 lip 2004, o 18:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jarosław/Kraków
Pomógł: 2 razy

Brak pomysłu na całkę

Post autor: Ptolemeusz »

a podstawienie \(\displaystyle{ x= \sinh(t)}\) nie załatwia sprawy?

[edit] eee chyba nie...
ODPOWIEDZ