\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{ \sqrt{-x ^{2}+2x } }}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{tgx}{ln(cosx)} dx}\)
Całka oznaczona i nieoznaczona
-
soku11
- Użytkownik
- Posty: 6607
- Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 119 razy
- Pomógł: 1823 razy
Całka oznaczona i nieoznaczona
\(\displaystyle{ =\lim_{a\to 0^+}\int\limits_{a}^{1}\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{-x^2+2x}}}\)
I teraz nieoznaczona:
\(\displaystyle{ \int\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{-x^2+2x}}=
t\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{-(x^2-2x)}}=
t\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{ -[(x-1)^2]-1 }}=
t\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{1 -(x-1)^2 }}\\
x-1=t\\
=\mbox{d}t\\
t \frac{\mbox{d}t}{\sqrt{1-t^2}}=\arcsin (t)+C=
\arcsin(x-1)+C}\)
I wracamy do oznaczonej:
\(\displaystyle{ \lim_{a\to 0^+}[\arcsin(x-1)]\left|\frac{}{}\right|_{a}^{1}=
\lim_{a\to 0^+}[\arcsin(0)-\arcsin (a-1)]=
-\lim_{a\to 0^+}\arcsin (a-1)=-\arcsin(-1)=\frac{\pi}{2}}\)
POZDRO
I teraz nieoznaczona:
\(\displaystyle{ \int\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{-x^2+2x}}=
t\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{-(x^2-2x)}}=
t\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{ -[(x-1)^2]-1 }}=
t\frac{\mbox{d}x}{\sqrt{1 -(x-1)^2 }}\\
x-1=t\\
=\mbox{d}t\\
t \frac{\mbox{d}t}{\sqrt{1-t^2}}=\arcsin (t)+C=
\arcsin(x-1)+C}\)
I wracamy do oznaczonej:
\(\displaystyle{ \lim_{a\to 0^+}[\arcsin(x-1)]\left|\frac{}{}\right|_{a}^{1}=
\lim_{a\to 0^+}[\arcsin(0)-\arcsin (a-1)]=
-\lim_{a\to 0^+}\arcsin (a-1)=-\arcsin(-1)=\frac{\pi}{2}}\)
POZDRO
