Całk oznaczona

[yonagold]

Jest taka całka:

\(\displaystyle{ \int\limits_{ - 1}^1 {e^{x^2 } } \sin (x)\,dx}\)

Czy da sie rozwiązać to z twierdzenia o całce funkcji nieparzystej i okresowej ???
Podobno tak ale okres wynosi \(\displaystyle{ 2\pi}\)

Jeśli ktoś to umie to proszę pokazać jak ...

Pozdrawiam


P.S

Twierdzenie brzmi tak:
Gdy \(\displaystyle{ f(x)}\) jest nieparzysta i ma okres \(\displaystyle{ T}\) to:
\(\displaystyle{ \int\limits_a^{a + T} {f(x)dx\,\, = \int\limits_0^T {f(x)} } = 0}\)

[ Dodano: 26 Lutego 2008, 21:09 ]
a w tym twierdzeniu które podałem przedział całkowania jest od \(\displaystyle{ a}\) do \(\displaystyle{ a+T}\)
A w mojej całce od \(\displaystyle{ -1}\) do \(\displaystyle{ 1}\) więc jakby twierdzenie nie jest spełnione....?

[Szemek]

\(\displaystyle{ D=R}\)
\(\displaystyle{ f(x)=e^{x^2} \sin x}\)
\(\displaystyle{ f(-x)=e^{(-x)^2} \sin (-x) =-e^{x^2} \sin x}\)
\(\displaystyle{ -f(x)=-e^{x^2} \sin x}\)
\(\displaystyle{ f(-x)=-f(x)}\) - funkcja jest nieparzysta

Twierdzenie: Załóżmy, że f jest ciągła na przedziale [a, b].

(a)
Jeśli f jest parzysta, tj. \(\displaystyle{ f(-x) = f(x)}\), to wówczas \(\displaystyle{ \int_{{-a}}^{a} f (x)dx = 2\int_{0}^{a}f (x)dx}\)
(b)
Jeśli f jest nieparzysta, tj. \(\displaystyle{ f(-x) = -f(x)}\), to wówczas \(\displaystyle{ \int_{{-a}}^{a}f (x)dx =0}\)

Podana funkcja jest nieparzysta i ciągła, więc prawdą jest, że \(\displaystyle{ \int_{-1}^1 e^{x^2} \sin x \ dx=0}\)