tw. szwarza

[piotr_dj]

\(\displaystyle{ z=ln \frac{x+y}{y}}\)
Czy może ktoś mi wytłumaczyć tylko tak bardzie dokładnie jak liczy się z "z"\(\displaystyle{ \frac{dz}{dx}}\) i \(\displaystyle{ \frac{dz}{dy}???}\)

[msx100]

hey! jezeli liczysz \(\displaystyle{ \frac{ z}{ x}}\) to po prostu liczysz pochodna z funkcji z, ale tak, ze tylko x jest zmienna a reszta jest jakas stala.
Jezeli masz problem to mozesz liczac \(\displaystyle{ \frac{ z}{ x}}\) podstawic sobie za \(\displaystyle{ y}\) jakas inna liczbe, ale na koncu musisz podstawic z powrotem \(\displaystyle{ y}\) za tą stała.
\(\displaystyle{ \frac{ z}{ x} = (\ln{\frac{x+y}{y}})^{'}_{x} = \frac{1}{ \frac{x+y}{y} } = \frac{1}{x+y}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ z}{ y} = (\ln{\frac{x+y}{y}})^{'}_{y} = \frac{1}{x+y} (\frac{x+y}{y})^{'}_{y} = \frac{1}{x+y} \frac{-x}{y^{2}} = \frac{-x}{y^{2}(x+y)}}\)
no i jeszcze dziedziny brakuje

[belmondo]

hmm, aby to dobrze rozwiązałeś?? Przecież to jest różniczka zupełna, czyli jak masz pochądną po x to powinieneś obliczać pochodną tylko po iksie. Niestety takiej funkcji nie jestem w stanie jeszcze rozwiązać wiec nie wiele pomogę. Ale tyś policzył z tego co widzę pochodną całego wyrażenia, i wydaje mi się że jest źle.

[piotr_dj]

Tylko czy później te drugie pochodne będą sobie równe jak w tw. schwarza. Bo mi to nie wychodzi.

[Wasilewski]

Bo jest źle policzona pochodna po x, przecież:
\(\displaystyle{ z = \ln \left(\frac{x+y}{y}\right) = \ln(x+y) - \ln(y) \\
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x+y}}\)

[msx100]

hmm, aby to dobrze rozwiązałeś?? Przecież to jest różniczka zupełna, czyli jak masz pochądną po x to powinieneś obliczać pochodną tylko po iksie. Niestety takiej funkcji nie jestem w stanie jeszcze rozwiązać wiec nie wiele pomogę. Ale tyś policzył z tego co widzę pochodną całego wyrażenia, i wydaje mi się że jest źle.

oj.. ale sie tu narobilo.. gdzie jest rozniczka zupełna?? z tego co wiem to inaczej sie ją oznacza. Ale jezeli zobczyłem wyrazenie \(\displaystyle{ \frac{dz}{dx}}\) to pomyslalem, ze autor popełnil blad. Bo funkcja \(\displaystyle{ z}\) jest funkcja 2ch zmiennych a jezeli liczy sie pochodna czastowe po wielu zmiennych nie daje sie \(\displaystyle{ \frac{dz}{dx}}\) tylko \(\displaystyle{ \frac{ z}{ x}}\) bo ten wczesniejszy zapis jest zarezerwowany dla funkcji po jednej zmiennej..[/latex]

[ Dodano: 23 Lutego 2008, 16:20 ]

Tylko czy później te drugie pochodne będą sobie równe jak w tw. schwarza. Bo mi to nie wychodzi.

ale co nie wychodzi? Tw. Schwarza, mowi ze jezeli pochodne mieszane istnieja i sa ciagłe to sa sobie równe. A jakie było polecenie do zadania?

[ Dodano: 23 Lutego 2008, 16:25 ]

Bo jest źle policzona pochodna po x, przecież:
\(\displaystyle{ z = \ln \left(\frac{x+y}{y}\right) = \ln(x+y) - \ln(y) \\
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x+y}}\)

masz racje .. machnełem sie. Dzieki za poprawke! (zapomnialem przemnozyc przez pochodna argumentu po x)

[piotr_dj]

Polecenie było takie, że trzeba było udowodnić tw. schwarza na przykładzie funkcji z.