Matematyka.pl

Witam ponownie
Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu następujących przykładów:
\(\displaystyle{ 1) \frac{dx}{ \sqrt[4]{sin^{3}xcos^{5}x} }

2) \frac{dx}{ \sqrt{x+1} - \sqrt{x-1} }

3) \frac{sin^{3}xdx}{ \sqrt{cosx} }

4) xtg^{2}xdx}\)

dziękuję i pozdrawiam.

2 zastosowac wzor skroconego mnozenia

\(\displaystyle{ a-b= \frac{a^2-b^2}{a+b}}\)

3. t=== cos x

4. moze przez czesci

1.)Moze sprobowac podstawic t=tgx i wtedy dla takiej postaci:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ }{ \sqrt[4]{ sin^{2} xsinxcosxcos ^{4}x }}}\)

mamy:

\(\displaystyle{ dt=(t ^{2}+1)dx}\)
\(\displaystyle{ cos ^{2}x= \frac{1}{t ^{2}+1 }}\)
\(\displaystyle{ sin ^{2}x= \frac{t ^{2} }{t ^{2}+1 }}\)
\(\displaystyle{ sincosx= \frac{t}{t ^{2}+1 }}\)

dojdziemy do takiej postaci:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dt}{ \sqrt[4]{t ^{3} } }= 4 t ^{ \frac{1}{4} }+C=4 \sqrt[4]{tgx} +C}\)
Pozdrawiam i mam nadzieje ze jest dobrze ;]

4)
\(\displaystyle{ \int x \tan^{2}x dx=\left|\begin{array}{cc} u=x & v'=\tan^{2}x \\ u'=1 & v=\tan x-x \end{array}\right|=x \tan x-x^{2}-\int\tan x -x \ dx= x \tan x-x^{2}-(-\frac{x^{2}}{2}- ln(\cos x))}\)
i ostatecznie:
\(\displaystyle{ \int x \tan ^{2}x dx=-\frac{x^{2}}{2}+ x \tan x +ln(\cos x)+C}\)

Witam ponownie

1)hmm wszystko ok tyko nie rozumiem jak powstało takie coś:\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dt}{ \sqrt[4]{t ^{3} } }}\) mianownik mam taki sam ale licznik mam troszkę skomplikowany.

2)No niestety nie potrafię policzyć, nie skraca sie nic.
3)po podstawieniu cosx=t również nic nie wychodzi
4)zrozumiałem i dziękuję.

Bardzo proszę o pomoc w pozostałych przykładach mogą być nawet tylko wskazówki, ale ważne bym posunął się choć troszkę do przodu bo obecnie stoję w miejscu.

dziękuję i pozdrawiam.

No zobacz:

\(\displaystyle{ \frac{dx}{ \sqrt[4]{sin^{2}sinxcosxcos^{4}x} }= \frac{dt}{(t^2+1) \sqrt[4]{( \frac{t^{2}}{t^{2}+1}) \frac{t}{t^{2}+1} (\frac{1}{t^{2}+1})^{2} } }= \frac{dt}{(t^2+1) \sqrt[4]{ \frac{t^3}{(t^2+1)^4} } }}\)

Teraz juz chyba widac ze to bedzie \(\displaystyle{ \frac{dt}{ \sqrt[4]{t^{3}} }}\)

Witam
No rzeczywiście wychodzi, zapomniałem o jednej potędze.
Można jeszcze prosić o pomoc w całce 2 i 3?

pozdrawiam

Już miałeś podane podpowiedzi. W 3:
\(\displaystyle{ t = cosx \ \ dt = -sinx dx \\
-\int \frac{(1-t^2) dt}{\sqrt{t}}}\)
Rozbijasz na różnicę całek.

ok, rozumiem, a jak ma się sprawa z całka nr 2? Można jeszcze prosić o pomoc?


pozdrawiam

Rozszerzasz ułamek przez sumę tych pierwiastków, czyli:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}} \frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}} = \frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}}{2}}\)
A z tym już nie powinno być problemu.