zadanie:
Obliczyć pole części leminiskaty Bernouliego \(\displaystyle{ \left( x^{2}+y^{2} \right) ^{2}=9 ft(x^{2}-y^{2} \right)}\) leżącej wewnątrz krzywej danej równaniem biegunowym \(\displaystyle{ r= \frac{3 \sqrt{2} }{2} \cos ft(\varphi \right)}\)
Wiem jak obliczyc pole tej leminiskaty mniej więcej tylko że w całości nie moge sobie poradzić z drugą krzywą jak ją wyznaczyć. czy może ktoś ma pomysł
Pole części leminiskaty Bernouliego
-
jarekp
- Użytkownik
- Posty: 173
- Rejestracja: 7 paź 2007, o 14:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 56 razy
Pole części leminiskaty Bernouliego
\(\displaystyle{ \left( x^{2}+y^{2} \right) ^{2}=9
\left(x^{2}-y^{2} \right)}\) po zamienieniu na równanie biegunowe to \(\displaystyle{ r_1=3 \sqrt{cos2\varphi }}\)
Druga krzywa to okrąg (zauważ, że zamieniając równanie \(\displaystyle{ (x- a)^2+y^2=a^2}\) na równanie biegunowe otrzymamy właśnie że \(\displaystyle{ r=2acos\varphi}\) ) o średnicy \(\displaystyle{ 3 \frac{\sqrt{2} }{2}}\). ponieważ ta średnica jest mniejsza od 3 (czyli od największej długości osiąganej przez \(\displaystyle{ r_1}\)) okrąg ten będzie przecinał lemniskatę.
Niech punkt przecięcia będzie dla kąta \(\displaystyle{ \varphi_1}\) .
( policzmy\(\displaystyle{ \varphi_1}\): \(\displaystyle{ \frac{3\sqrt{2} }{2}cos\varphi_1}=3 \sqrt{cos2\varphi_1 } \Leftrightarrow cos \varphi_1= \sqrt{ \frac{2}{3} } } \Rightarrow \varphi_1=arccos \sqrt{ \frac{2}{3}}\) )
Gdy \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4} \geqslant \varphi_1>\varphi}\) wtedy cześć wspólna lemniskaty i okręgu jest ograniczona przez lemniskatę natomiast gdy \(\displaystyle{ 0\leqslant \varphi_1t_{0}^{\varphi_1}r^{2}(\varphi)d\varphi + \frac{1}{2} t_{\varphi_1}^{ \frac{\pi}{4} }r^{2}_1 (\varphi)d\varphi)}\)
czyli \(\displaystyle{ P=\int_{0}^{\varphi_1} ( \frac{3\sqrt{2} }{2}cos\varphi )^{2}d\varphi + t_{\varphi_1}^{ \frac{\pi}{4} }( 3 \sqrt{cos2\varphi } )^2 d\varphi}\)
i ostatecznie
\(\displaystyle{ P=\int_{0}^{arccos \sqrt{ \frac{2}{3}}} ( \frac{3\sqrt{2} }{2}cos\varphi )^{2}d\varphi + t_{arccos \sqrt{ \frac{2}{3}}}^{ \frac{\pi}{4} }( 3 \sqrt{cos2\varphi } )^2 d\varphi}\)
(policzenie tej całki proponuje jak ćwiczenie przed poniedziałkowym kolokwium:D)
cdn..
\left(x^{2}-y^{2} \right)}\) po zamienieniu na równanie biegunowe to \(\displaystyle{ r_1=3 \sqrt{cos2\varphi }}\)
Druga krzywa to okrąg (zauważ, że zamieniając równanie \(\displaystyle{ (x- a)^2+y^2=a^2}\) na równanie biegunowe otrzymamy właśnie że \(\displaystyle{ r=2acos\varphi}\) ) o średnicy \(\displaystyle{ 3 \frac{\sqrt{2} }{2}}\). ponieważ ta średnica jest mniejsza od 3 (czyli od największej długości osiąganej przez \(\displaystyle{ r_1}\)) okrąg ten będzie przecinał lemniskatę.
Niech punkt przecięcia będzie dla kąta \(\displaystyle{ \varphi_1}\) .
( policzmy\(\displaystyle{ \varphi_1}\): \(\displaystyle{ \frac{3\sqrt{2} }{2}cos\varphi_1}=3 \sqrt{cos2\varphi_1 } \Leftrightarrow cos \varphi_1= \sqrt{ \frac{2}{3} } } \Rightarrow \varphi_1=arccos \sqrt{ \frac{2}{3}}\) )
Gdy \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4} \geqslant \varphi_1>\varphi}\) wtedy cześć wspólna lemniskaty i okręgu jest ograniczona przez lemniskatę natomiast gdy \(\displaystyle{ 0\leqslant \varphi_1t_{0}^{\varphi_1}r^{2}(\varphi)d\varphi + \frac{1}{2} t_{\varphi_1}^{ \frac{\pi}{4} }r^{2}_1 (\varphi)d\varphi)}\)
czyli \(\displaystyle{ P=\int_{0}^{\varphi_1} ( \frac{3\sqrt{2} }{2}cos\varphi )^{2}d\varphi + t_{\varphi_1}^{ \frac{\pi}{4} }( 3 \sqrt{cos2\varphi } )^2 d\varphi}\)
i ostatecznie
\(\displaystyle{ P=\int_{0}^{arccos \sqrt{ \frac{2}{3}}} ( \frac{3\sqrt{2} }{2}cos\varphi )^{2}d\varphi + t_{arccos \sqrt{ \frac{2}{3}}}^{ \frac{\pi}{4} }( 3 \sqrt{cos2\varphi } )^2 d\varphi}\)
(policzenie tej całki proponuje jak ćwiczenie przed poniedziałkowym kolokwium:D)
cdn..
Ostatnio zmieniony 5 sty 2008, o 18:16 przez jarekp, łącznie zmieniany 2 razy.
-
Kamila_88
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 5 sty 2008, o 14:07
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: PL
- Podziękował: 2 razy
Pole części leminiskaty Bernouliego
dzieki dzieki ciag dalszy tez mozesz mi napisac zebym zobaczyla czy mam dobrze
-
jarekp
- Użytkownik
- Posty: 173
- Rejestracja: 7 paź 2007, o 14:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 56 razy
Pole części leminiskaty Bernouliego
Był błąd w poprzednim poście. całe pole powinno być razy 2 bo rozpatrywałem tylko dla I. ćwiartki. już poprawiłem:)
\(\displaystyle{ P=\int_{0}^{\varphi_1} ( \frac{3\sqrt{2} }{2}cos\varphi )^{2}d\varphi + t_{\varphi_1}^{ \frac{\pi}{4} }( 3 \sqrt{cos2\varphi } )^2 d\varphi = \frac{9 }{2}\int_{0}^{\varphi_1}cos^2\varphid\varphi + 9 t_{\varphi_1}^{ \frac{\pi}{4} }cos2\varphi d\varphi =\frac{9 }{2}( \frac{\varphi}{2} + \frac{sin2\varphi}{4}{|^{\varphi_1}_{0})+9(\frac{sin2\varphi}{2}|^{ \frac{\pi}{4} }_{\varphi_1})=\frac{9 }{2}( \frac{\varphi_1}{2} + \frac{sin2\varphi_1}{4})+9(\frac{sin2\varphi_1}{2}-\frac{sin\frac{\pi}{2} }{2})}\)
\(\displaystyle{ cos\varphi_1=\sqrt{ \frac{2}{3}}}\) po przekształceniach otrzymamy że \(\displaystyle{ sin2\varphi_1= \frac{2 \sqrt{2} }{3}}\)
czyli \(\displaystyle{ P=\frac{9 }{2}( \frac{arccos\sqrt{ \frac{2}{3}}}{2}) + \frac{\frac{2 \sqrt{2} }{3}}{4})+9(\frac{\frac{2 \sqrt{2} }{3}}{2}-\frac{1 }{2})=
\frac { 38 \sqrt{2}}{12}+\frac{9 arccos \sqrt{ \frac{2}{3}}}{4}-\frac{9}{2}}\)
chyba tak:)
\(\displaystyle{ P=\int_{0}^{\varphi_1} ( \frac{3\sqrt{2} }{2}cos\varphi )^{2}d\varphi + t_{\varphi_1}^{ \frac{\pi}{4} }( 3 \sqrt{cos2\varphi } )^2 d\varphi = \frac{9 }{2}\int_{0}^{\varphi_1}cos^2\varphid\varphi + 9 t_{\varphi_1}^{ \frac{\pi}{4} }cos2\varphi d\varphi =\frac{9 }{2}( \frac{\varphi}{2} + \frac{sin2\varphi}{4}{|^{\varphi_1}_{0})+9(\frac{sin2\varphi}{2}|^{ \frac{\pi}{4} }_{\varphi_1})=\frac{9 }{2}( \frac{\varphi_1}{2} + \frac{sin2\varphi_1}{4})+9(\frac{sin2\varphi_1}{2}-\frac{sin\frac{\pi}{2} }{2})}\)
\(\displaystyle{ cos\varphi_1=\sqrt{ \frac{2}{3}}}\) po przekształceniach otrzymamy że \(\displaystyle{ sin2\varphi_1= \frac{2 \sqrt{2} }{3}}\)
czyli \(\displaystyle{ P=\frac{9 }{2}( \frac{arccos\sqrt{ \frac{2}{3}}}{2}) + \frac{\frac{2 \sqrt{2} }{3}}{4})+9(\frac{\frac{2 \sqrt{2} }{3}}{2}-\frac{1 }{2})=
\frac { 38 \sqrt{2}}{12}+\frac{9 arccos \sqrt{ \frac{2}{3}}}{4}-\frac{9}{2}}\)
chyba tak:)