Całka dla najlepszych.

[unikat900]

Proszę o pomoc w rozwiazaniu nastepujacej calki:
\(\displaystyle{ \int \sqrt{1+e^{2x}}}\)
Naprawde juz nie mam pomyslu jak to zalatwic....

[luka52]

\(\displaystyle{ = t \frac{e^x \sqrt{1 + e^{2x}}}{e^x} \, }\)
podstawiając \(\displaystyle{ t = e^x}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \int \frac{\sqrt{1+t^2}}{t} \, \mbox{d}t}\)
A z tym nie powinno być problemów.

[unikat900]

Prosiłbym jednak o doprowadzenie tej całki do końca. Widzisz wiem, że teraz trzeba to załatwić metodą podstawienia, ale choćbym nie wiem co podstawił, nie skraca się ;(.

[luka52]

Podstaw \(\displaystyle{ u = \sqrt{1+t^2}}\). ( https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=33970 )

[unikat900]

Dzieki Ci bardzo!

[soku11]

\(\displaystyle{ \int \frac{\sqrt{1+t^2}}{t} \, \mbox{d}t =
t \frac{1+t^2}{t\sqrt{1+t^2}} \, \mbox{d}t =
t \frac{1}{t\sqrt{1+t^2}}\, \mbox{d}t+
t \frac{t^2}{t\sqrt{1+t^2}} \, \mbox{d}t =
t \frac{1}{t\sqrt{1+t^2}}\, \mbox{d}t+
t \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} \, \mbox{d}t=\mbox{I}_1+\mbox{I}_2\\
\mbox{I}_1:\\
u=\frac{1}{t}\\
t=\frac{1}{u}\\
\mbox{d}t=\frac{-1}{u^2}\mbox{d}u\\
-\int \frac{u}{u^2\sqrt{1+\frac{1}{u^2}}}du=...\\
\mbox{I}_2:\\
1+t^2=u\\
t\mbox{d} t=\frac{1}{2}\mbox{d}u\\
\frac{1}{2}\int \frac{\mbox{d}u}{\sqrt{u}}=...}\)

POZDRO

[unikat900]

w koncu

[luka52]

Mistrzu, zrobiłem tak jak mi poleciłeś i nie działa ;(.

Ech...
Kontynuując:
\(\displaystyle{ t = \sqrt{u^2 - 1}, \quad \mbox{d}t = \frac{u \, \mbox{d}u}{\sqrt{u^2 - 1}}\\
I = \int \frac{u}{\sqrt{u^2 - 1}} \frac{u \, \mbox{d}u}{\sqrt{u^2 - 1}} = \int \frac{u^2 - 1 + 1}{u^2 - 1} \, \mbox{d}u = u + \frac{1}{2} \ln \left| \frac{u - 1}{u + 1} \right| + C = \\
= \sqrt{1+t^2} + \frac{1}{2} \ln \left| \frac{ \sqrt{1+t^2} - 1}{ \sqrt{1+t^2} + 1} \right| + C =\\
= \sqrt{1+e^{2x}} + \frac{1}{2} \ln \left| \frac{ \sqrt{1+e^{2x}} - 1}{ \sqrt{1+e^{2x}} + 1} \right| + C}\)