Matematyka.pl

Kolejna problemowa dla mnie całka:
\(\displaystyle{ \int arcsin^2x dx}\)
Z góry dzięki za pomoc

Niech:
\(\displaystyle{ \arcsin{x}=t\\x=\sin{t}\\dx=\cos{t}\ dt}\)
Stad:
\(\displaystyle{ \int\arcsin^2{x} dx=\int t^2\cdot \cos{t} \ dt}\)
i dalej przez czesci... dwukrotnie

moze ktos podac rozwiazanie do tego zadania w celu sprawdzenia wyniku

a moze ktos po kroku podac rozwiazanie

\(\displaystyle{ \int\arcsin^2{x} dx=\int t^2\cdot \cos{t} \ dt\\
f=t^2\ \ \ g'=cost\\
f'=2t\ \ \ g=sint\\
t^2sint-2 t tsintdt\\
f=t\ \ \ g'=sint\\
f'=1\ \ \ g=-cost\\
t^2sint-2(-tcost+\int costdt)=
t^2sint-2(-tcost+sint)+C=
t^2sint+2tcost-2sint)+C=
t^2sint+2tcost-2sint)+C=
arcsin^2x\cdot sinarcsinx+2arcsinx\cdot cosarcsinx-2sinarcsinx=
arcsin^2x\cdot x+2arcsinx \sqrt{1-x^2}-2x}\)

POZDRO

a całka z arcsin bez kwadratu? mam z tym wielki problem od pół godziny

mam tak: \(\displaystyle{ \int arcsin2xdx =}\)
~~~~~~~~~~
f' = 1
f = x
g=arcsin2x
g'= \(\displaystyle{ \frac{2}{ \sqrt{1-x ^{2} } }}\)
~~~~~~~~~~

=\(\displaystyle{ xarcsin2x - 2 \int \frac{x}{ \sqrt{1-x ^{2} } }dx}\)

no i teraz nie wiem co dalej

Zauważ, że:
\(\displaystyle{ xarcsinx - 2\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = xarcsinx + 2\int \frac{ -2x}{2\sqrt{1 -x^2}}}\)
Masz w liczniku pochodną funkcji wewnętrznej.

Wasilewski pisze:Zauważ, że:
\(\displaystyle{ xarcsinx - 2\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = xarcsinx + 2\int \frac{ -2x}{2\sqrt{1 -x^2}}}\)
Masz w liczniku pochodną funkcji wewnętrznej.

czyli robimy
~~~~~~~~~~
t=1-x^2
dt=-2xdx
~~~~~~~~~~

\(\displaystyle{ xarcsinx+2 \int { \frac{dt}{2 \sqrt{t} } =xarcsinx+ 2 \sqrt{1-x^2} + C}\)

tak? :>

Dokładnie tak.