masa ćwiartki koła o zmiennej gęstości

[ggx]

\(\displaystyle{ \rho = y}\)

1/4 koła: \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=R^{2}}\)

robię tak:

\(\displaystyle{ x=R\cdot cos \phi}\)
\(\displaystyle{ y= R\cdot sin \phi}\)
\(\displaystyle{ \phi [0,\frac{\pi}{2}]}\)

Jakobian \(\displaystyle{ J = r}\)

wiemy, że: \(\displaystyle{ m = \iint_{kolo} \rho\ dx \ dy}\)

\(\displaystyle{ m = t_{0}^{\frac{\pi}{2}}y \ d\phi \ t_{0}^{R}r \ dr}\)

dobrze? co dalej? podstawiam zamiast y funkcję \(\displaystyle{ Rsin\phi}\) ?

[Emiel Regis]

Tak powinno być.
\(\displaystyle{ x=r\cdot cos \phi \\
y= r\cdot sin \phi \\
\phi [0,\frac{\pi}{2}] \\
r [0,R] \\
J=r \\}\)
No i oczywiscie tak jak piszesz wstawiasz zamiast y nowe zmienne. Inaczej przy wprowadzeniu nowych różniczek y byłoby stałą...

[ggx]

czyli dalej mamy \(\displaystyle{ m = t_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin\phi \ d\phi \ t_{0}^{R}r^{2} \ dr}\)
i potem wychodzi w środku \(\displaystyle{ \int\ sin\phi = cos\phi}\), a \(\displaystyle{ cos \ \frac{\pi}{2} \ = \ 0}\) i całość wychodzi 0, a wiadomo, że masa nie będzie zerem

[Emiel Regis]

Po pierwsze primo ciągle zamiast małego r piszesz duże R. A przypominam że to jest zmienna, bo masz równanie koła a nie okręgu, tak btw to Ty wlasnie na górze napisales okrąg nie koło...
Po drugie primo napisz mi ile wynosi \(\displaystyle{ cos0}\).

[ggx]

Po drugie primo napisz mi ile wynosi cos0.

i wszystko jasne