Oblicz objętość i pole powierzchni po obrocie krzywej

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Awatar użytkownika
cmnstrnbnn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 4 mar 2019, o 20:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1 raz

Oblicz objętość i pole powierzchni po obrocie krzywej

Post autor: cmnstrnbnn » 27 cze 2022, o 00:29

Mamy krzywą zamkniętą \(\displaystyle{ \left( \cos^{3}t, \sin^{3}t\right) }\), dla \(\displaystyle{ t \in \left\langle 0, 2\pi \right\rangle }\) Oblicz objętość i pole powierzchni bryły po obrocie wokół osi OX, a następnie wokół OY.

Dobra, na początku podam wzór, który użyję, aby spróbować rozwiązać pierwszą część tego zadania. \(\displaystyle{ p '\in \left\langle a, b\right\rangle }\), gdzie krzywa jest zadana w takiej postaci parametrycznej \(\displaystyle{ \left( x(p), y(p) \right) }\)
\(\displaystyle{ \pi \int_{a}^{b} y^{2}(x(p)) \cdot x'(p)}\) - wzór na objętość bryły po obrocie wokół osi OX

\(\displaystyle{ -\pi \int_{0}^{2\pi} (\sin^{3}(x))^{2} \cdot 3\cos^{2}(x)\sin(x) dx }\)

I tu właśnie pojawia się problem, bo jak doliczę tą całkę do końca, to wychodzi mi 0. Czy w celu rozwiązania tego problemu wystarczy policzyć osobno sumę modułów z całek dla których \(\displaystyle{ \sin^{7}(x) \cos^{3}(x)}\) jest dodatnia, oraz ujemna?

Czy aby policzyć objętość bryły po obrocie wokół OY zachodzi analogiczny wzór, czyli
\(\displaystyle{ \pi \int_{a}^{b} x^{2}(y(p)) \cdot y'(p) dx}\) ?

Na koniec spytam czy wzór na pole powierzchni bryły po obrocie wokół osi OX to
\(\displaystyle{ 2\pi \int_{a}^{b} y(x(p)) \sqrt{1+(y'(x(p)))^{2}} \cdot x'(p) }\), oraz czy wokół osi OY zachodzi analogiczny wzór
\(\displaystyle{ 2\pi \int_{a}^{b} x(y(p)) \sqrt{1+(x'(y(p)))^{2}} \cdot y'(p)}\) ?

ODPOWIEDZ