Całka z formy różniczkowej

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Katoda123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 25 cze 2022, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 1 raz

Całka z formy różniczkowej

Post autor: Katoda123 »

Moim zadaniem jest policzenie całki z formy $$\omega= \frac{xdy-ydx}{x^2+y^2} $$ po elipsie która ma środek w punkcie (0,0) i półosie a,b i obracającej się jednokrotnie w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
Po przejściu na współrzędne biegunowe
$$x(\phi)=a\cos{\phi}$$
$$y(\phi)=b\sin{\phi}$$
Muszę obliczyć całkę
$$ \int_{0}^{2 \pi } \frac{xdy-ydx}{x^2+y^2} $$
$$dx= \frac{dx}{d\phi}d\phi = -a\sin{\phi}d\phi$$
$$dy= \frac{dy}{d\phi}d\phi = b\cos{\phi}d\phi$$

Po podstawiniu mamy:
$$ \int_{0}^{2 \pi } \frac{ab(\cos^2{\phi} + \sin^2{\phi})}{a^2\cos^2{\phi}+b^2\sin^2{\phi}} d\phi = ab \int_{0}^{2 \pi } \frac{1}{a^2\cos^2{\phi}+b^2\sin^2{\phi}}d\phi$$

Następnie wprowadziłem parametr t
$$t=\tan{\phi}$$
$$d\phi = \frac{1}{t^2+1}dt$$
$$\sin^2{\phi} = \frac{t^2}{t^2+1}$$
$$\cos^2{\phi} = \frac{1}{t^2+1}$$

Po podstawieniu otrzymałem:
$$ab\int_{}^{} \frac{1}{a^2+b^2t^2}dt = \frac{a}{b}\int_{}^{} \frac{1}{(\frac{a}{b})^2+t^2}dt=\arctg{\frac{b\tg{\phi}}{a}}$$

I teraz moje pytanie
Gdy wylicze z tego całkę od 0 do 2pi wychodzi 0 a chyba nie powinno skoro funkcja podcałkowa jest
dodatnia. Co robię źle?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Całka z formy różniczkowej

Post autor: Dasio11 »

Błąd wynika z faktu, że \(\displaystyle{ \arctg \left( \frac{b}{a} \tg \phi \right)}\) nie jest funkcją pierwotną funkcji \(\displaystyle{ \frac{1}{a^2 \cos^2 \phi + b^2 \sin^2 \phi}}\) na całym przedziale \(\displaystyle{ [0, 2\pi]}\), tylko osobno na każdym z przedziałów, na których ta pierwsza funkcja jest określona. Poprawną metodą byłoby na przykład rozłożenie całki na sumę:

\(\displaystyle{ \int \limits_0^{2 \pi} \frac{1}{a^2 \cos^2 \phi + b^2 \sin^2 \phi} \, \dd \phi = \int \limits_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{a^2 \cos^2 \phi + b^2 \sin^2 \phi} \, \dd \phi + \int \limits_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \ldots \, \dd \phi + \int \limits_{\frac{3\pi}{2}}^{2 \pi} \ldots \, \dd \phi}\)

i obliczenie każdej całki osobno za pomocą wyznaczonej funkcji pierwotnej.


Ale jeśli nie ma wymogu liczenia z definicji, to istnieje o wiele prostsza metoda: zauważyć, że \(\displaystyle{ \omega}\) jest formą zamkniętą, tj. \(\displaystyle{ \dd \omega = 0}\), a więc z twierdzenia Stokesa można bez zmiany wartości całki zastąpić elipsę dowolną krzywą, która jest z nią homotopijna w \(\displaystyle{ \RR \setminus \{ 0 \}}\) (czyli dowolną krzywą, którą można otrzymać deformując elipsę w sposób ciągły bez zahaczania o zero). W szczególności można ją zastąpić okręgiem o środku w zerze, a taką całkę liczy się już bardzo łatwo.


A jeśli znasz funkcje zespolone, to możesz też skorzystać z obserwacji, że \(\displaystyle{ \omega}\) jest częścią urojoną formy \(\displaystyle{ \frac{1}{z} \, \dd z}\), więc całka z niej po elipsie jest równa części urojonej z całki zespolonej \(\displaystyle{ \textstyle \int \frac{1}{z} \, \dd z}\) po tejże elipsie. Z kolei ta całka to \(\displaystyle{ 2 \pi i}\) razy residuum funkcji \(\displaystyle{ \frac{1}{z}}\) w zerze, czyli po prostu \(\displaystyle{ 2 \pi i}\), a więc początkowa całka jest równa \(\displaystyle{ 2 \pi}\).
Katoda123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 25 cze 2022, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
wiek: 20
Podziękował: 1 raz

Re: Całka z formy różniczkowej

Post autor: Katoda123 »

Dziękuję za odpowiedz. Jest bardzo pomocna.
ODPOWIEDZ