Objętość obszaru ograniczonego powierzchniami

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
rutra12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 6 cze 2022, o 23:32
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy

Objętość obszaru ograniczonego powierzchniami

Post autor: rutra12 »

Cześć,

Rozwiązując zadania oparte na wyznaczaniu objętości zatrzymałem się na poniższym zadaniu:

Narysować i obliczyć objętości obszarów U ograniczonych powierzchniami:

\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=2, y=1 (y\geq 1)
}\)


Wiem, że jest to objętość części kuli ograniczonej na OYZ: \(\displaystyle{ 1\leq y \leq \sqrt{2}}\) i na OXZ okręgiem o promieniu r = 1
Czy można obliczyć to ze współrzędnych walcowych?
Z moich prób wyszło mi:

\(\displaystyle{ z=\sqrt{2-r^2}}\) oraz \(\displaystyle{ z=-\sqrt{2-r^2}}\)

Promień \(\displaystyle{ 0 \leq r \leq \sqrt{2}}\) czy \(\displaystyle{ 1 \leq r \leq \sqrt{2}}\) ?

Dalej nie jestem w stanie ogarnąć.

Czy wszystkie objętości ograniczone powierzchniami można obliczać za pomocą współrzędnych walcowych?

Odpowiedź do zadania to \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3} (4\sqrt{2} - 5) }\)
Pozdrawiam
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: Objętość obszaru ograniczonego powierzchniami

Post autor: kerajs »

Liczyłbym tak:
\(\displaystyle{ V= \int_{0}^{2 \pi } \left( \int_{0}^{1} ( \sqrt{2-r^2}-1)r \dd r \right) \dd \alpha }\)

Czy wszystkie objętości ograniczone powierzchniami można obliczać za pomocą współrzędnych walcowych?
Teoretycznie tak, lecz czasem jest to kłopotliwe (choćby objętość sześcianu).
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Objętość obszaru ograniczonego powierzchniami

Post autor: a4karo »

A ja tak:
`V=\int_1^{\sqrt 2} \pi (\sqrt{2-y^2})^2dy`
rutra12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 6 cze 2022, o 23:32
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy

Re: Objętość obszaru ograniczonego powierzchniami

Post autor: rutra12 »

Super, już się rozjaśniło. Czy mógłbym prosić jeszcze o rozpisanie całki iterowanej? Chodzi mi o przejście ze wsp. kartezjańskich do walcowych.
Jak ogarniać, z których rzutów brać odpowiadające promień, kąt fi oraz ograniczenie wysokości?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Objętość obszaru ograniczonego powierzchniami

Post autor: a4karo »

To nie są współrzędne walcowe tylko biegunowe. Całkuje się po kółku na którym leży ta bryła

Dodano po 8 minutach 58 sekundach:
A raczej po jego rzucie na plaszczyzne OXZ
ODPOWIEDZ