Podstawianie całek

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Awatar użytkownika
atanazygwiezducha
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 30 lis 2021, o 21:47
Płeć: Mężczyzna
wiek: 23
Podziękował: 8 razy

Podstawianie całek

Post autor: atanazygwiezducha »

Mam do rozwiązania całkę
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ e^{x} }{1+ e^{x} } }\)

Wiem że prawidłowym wynikiem jest podstawienie mianownika pod \(\displaystyle{ t}\), wynik wychodzi wtedy \(\displaystyle{ \ln|1+ e^{x}| +C }\)

Natomiast dlaczego wychodzi mi zupełnie inny wynik kiedy pod \(\displaystyle{ t}\) podstawiam licznik? Który z kroków robię niepoprawnie?


\(\displaystyle{ e^{x} = t \\ dt=e^{x}dx \\ \frac{dt}{e^{x}} = dx \\ }\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{t }{1+t} \cdot \frac{dt}{t} = \int_{}^{} \frac{dt }{ 1^{2} + \sqrt{t}^{2} } = \arctg( \sqrt{t}) + C }\)

PS: Bardzo proszę o wyrozumiałość. To jest jedna z moich pierwszych całek a nie za bardzo wiem w jaki sposób mogę wyszukać mój problem w internecie.
Ostatnio zmieniony 28 maja 2022, o 19:25 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Podstawianie całek

Post autor: Janusz Tracz »

atanazygwiezducha pisze: 28 maja 2022, o 17:56 \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dt }{ 1^{2} + \sqrt{t}^{2} } = \arctg( \sqrt{t}) + C }\)

Wychodzi źle bo to przejście jest nieprawidłowe. Policz pochodną prawej strony aby się o tym przekonać.
Awatar użytkownika
atanazygwiezducha
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 30 lis 2021, o 21:47
Płeć: Mężczyzna
wiek: 23
Podziękował: 8 razy

Re: Podstawianie całek

Post autor: atanazygwiezducha »

We wzorach mam:
\(\displaystyle{
\int_{}^{} \frac{dx}{ a^{2} + x^{2} } = \frac{1}{a} \arctg \frac{x}{a} + C
}\)

Na tej podstawie:
\(\displaystyle{
\int_{}^{} \frac{dt }{ 1^{2} + \sqrt{t}^{2} } = \frac{1}{1} \arctg \frac{ \sqrt{t}}{1} + C = \arctg( \sqrt{t}) + C
}\)


Czy ten wzór jest w takim razie nieprawidłowy czy ja coś źle w nim rozumiem?
Ostatnio zmieniony 28 maja 2022, o 19:24 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Podstawianie całek

Post autor: Janusz Tracz »

A policzyłeś pochodną jak prosiłem?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Podstawianie całek

Post autor: janusz47 »

Po co zamieniasz na kwadratową sumę mianownik funkcji podcałkowej, skoro po poprawnych podstawieniach i uproszczeniu przez \(\displaystyle{ t }\)

otrzymujesz prostą do obliczenia całkę

\(\displaystyle{ \int \frac{1}{1+t}dt }\) ?

Jaka jest funkcja pierwotna funkcji \(\displaystyle{ f(t) = \frac{1}{1+t} }\) ?
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Podstawianie całek

Post autor: Janusz Tracz »

janusz47 pisze: 28 maja 2022, o 18:47 Po co zamieniasz na kwadratową sumę mianownik funkcji podcałkowej
Bo się uczy i pamięta wzór na \(\displaystyle{ \arctg}\) i próbuje dopasować swój problem do tego wzoru. To bardzo naturalne podejście. Polecam jednak dalej zastanowić się nad pochodną \(\displaystyle{ \arctg( \sqrt{t})}\). To pozwoli Ci zrozumieć, gdzie jest błąd (często popełniany w innych różnych miejscach). Twoim aktualnym celem nie powinno być rozwiązanie całki tylko zrozumienie dlaczego nie wolno tak robić. Policzenie tej całki to inna sprawa.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Podstawianie całek

Post autor: janusz47 »

To nie jest dobre podejście. Po co tworzyć sztuczną sumę kwadratów ?

Lepszym jest zrozumienie dlaczego

\(\displaystyle{ \int \frac{1}{x+a} = \ln( x+ a) + C }\) ?
Awatar użytkownika
atanazygwiezducha
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 30 lis 2021, o 21:47
Płeć: Mężczyzna
wiek: 23
Podziękował: 8 razy

Re: Podstawianie całek

Post autor: atanazygwiezducha »

Janusz Tracz pisze: 28 maja 2022, o 18:56
janusz47 pisze: 28 maja 2022, o 18:47 Po co zamieniasz na kwadratową sumę mianownik funkcji podcałkowej
Bo się uczy i pamięta wzór na \(\displaystyle{ \arctg}\) i próbuje dopasować swój problem do tego wzoru. To bardzo naturalne podejście. Polecam jednak dalej zastanowić się nad pochodną \(\displaystyle{ \arctg( \sqrt{t})}\). To pozwoli Ci zrozumieć, gdzie jest błąd (często popełniany w innych różnych miejscach). Twoim aktualnym celem nie powinno być rozwiązanie całki tylko zrozumienie dlaczego nie wolno tak robić. Policzenie tej całki to inna sprawa.
To jest właśnie moje podejście, dlatego w poście nie prosiłem o poprawne rozwiązanie tylko o wyjaśnienie mojego błędu. Dziękuję za zrozumienie.

Pochodną policzyłem i wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{1}{ 2 \sqrt{t}(1+t) } }\)

Domyślam się nawet gdzie może leżeć błąd.
Czy błędne było założenie że \(\displaystyle{ t= (\sqrt{t})^{2} }\) podczas gdy powinno być \(\displaystyle{ |t|= (\sqrt{t})^{2} }\)?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Podstawianie całek

Post autor: a4karo »

To akurat nie jest największy problem.
Jak byłem dzieckiem, to popularne było takie zadanie: znajdź dziesięć szczegółów, którymi różnią sie te rysunki.

To jest podobnie: porównaj te obrazki
\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{1+x^2}\quad\int\frac{dt}{1+\left(\sqrt{t}\right)^2}}\)
Czy czegoś w tym drugim nie brakuje?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Podstawianie całek

Post autor: janusz47 »

Błędnym jest zamienianie \(\displaystyle{ t }\) na \(\displaystyle{ \sqrt{t^2} }\)

bo pochodne

\(\displaystyle{ t' = 1, \ \ (\sqrt{t^2})' = \frac{t}{\sqrt{t^2}} = \frac{t}{|t|} = \begin{cases} -1, \ \ gdy \ \ t<0 \\ 1, \ \ gdy \ \ t>0 \end{cases} = sign(t)}\)

są różne.

Dodano po 4 minutach 55 sekundach:
Brakuje założenia \(\displaystyle{ t \geq 0 . }\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Podstawianie całek

Post autor: a4karo »

janusz47 pisze: 28 maja 2022, o 19:43 Błędnym jest zamienianie \(\displaystyle{ t }\) na \(\displaystyle{ \sqrt{t^2} }\)

bo pochodne

\(\displaystyle{ t' = 1, \ \ (\sqrt{t^2})' = \frac{t}{\sqrt{t^2}} = \frac{t}{|t|} = \begin{cases} -1, \ \ gdy \ \ t<0 \\ 1, \ \ gdy \ \ t>0 \end{cases} = sign(t)}\)

są różne.

Dodano po 4 minutach 55 sekundach:
Brakuje założenia \(\displaystyle{ t \geq 0 . }\)
Jeżeli w tym miejscu doszukujesz się błedu, to błądzisz. Rozumiem, że uważasz takie coś

\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{1+x^4}=\int\frac{dx}{1+(x^2)^2}=\arctg x^2}\)

za poprawne.

Dodano po 3 minutach 25 sekundach:
Po prostu nie jest prawdą, że
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{1+(\text{cokolwiek})^2}=\arctg (\text{cokolwiek}) }\)
Awatar użytkownika
atanazygwiezducha
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 30 lis 2021, o 21:47
Płeć: Mężczyzna
wiek: 23
Podziękował: 8 razy

Re: Podstawianie całek

Post autor: atanazygwiezducha »

a4karo pisze: 28 maja 2022, o 20:08 Jeżeli w tym miejscu doszukujesz się błedu, to błądzisz. Rozumiem, że uważasz takie coś za poprawne.
Ja w takim razie już bardzo zbłądziłem.
Dlaczego ww. wzór nie jest poprawny?
Jeśli x jest dowolną liczbą rzeczywistą, dlaczego nie może być równie dobrze czymś do kwadratu?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Podstawianie całek

Post autor: a4karo »

MAsz taki wzór:

\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{1+x^2}=\arctg x}\)

i możesz sobie w nim za `x` podstawic co tylko zechcesz, nawet lokomotywę, bo

\(\displaystyle{ \int\frac{d\text{(lokomotywa)}}{1+\text{(lokomotywa)}^2}=\arctg \text{(lokomotywa)}}\)

Ale musisz to zrobić ze wszystkimi wystąpieniami `x`. A zatem poprawnie by było

\(\displaystyle{ \int\frac{d\sqrt{t}}{1+\sqrt{t}^2}=\arctg \sqrt{t}}\). A le w Twojej wersji masz w liczniku coś innego, nieprawdaż?
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Podstawianie całek

Post autor: Janusz Tracz »

Well a4karo wyjaśnił już sprawę, gdy mnie nie było. I bardzo dobrze \(\displaystyle{ \displaystyle{ \int\frac{ \dd \text{(lokomotywa)}}{1+\text{(lokomotywa)}^2}=\arctg \text{(lokomotywa)}}}\) bo to miałem na myśli. Co do pochodnej
atanazygwiezducha pisze: 28 maja 2022, o 19:10 Pochodną policzyłem i wyszło mi \(\displaystyle{ \frac{1}{ {\red {2 \sqrt{t} }}(1+t) } }\)
tu widać właśnie, że czerwony fragment to kawałek który przeszkadza bo bierze się z pochodnej funkcji wewnętrznej to jest \(\displaystyle{ \sqrt{t} }\). Ten czerwony kawałek to też brakująca część pomiędzy
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{1+x^2} \dd x \quad \text{vs} \quad \int \frac{1}{1+\left( \sqrt{t} \right)^2 } \dd t }\)

jeśli bowiem zostanie on dopisany to całki te niczym nie będą się równać. Gdy się policzy pochodne
\(\displaystyle{ \frac{ \dd }{ \dd \, \text{lokomotywa} } \arctg \text{(lokomotywa)} = \frac{1}{1+\text{(lokomotywa)}^2} }\)
a, gdy
\(\displaystyle{ \frac{ \dd }{ \dd x} \arctg \text{(lokomotywa)} = \frac{1}{1+\text{(lokomotywa)}^2} \times {\red{ \frac{ \dd \, \text{lokomotywa}}{ \dd x } }}. }\)
to widać co się dzieje. Dlatego Twoje rozwiązanie nie zadziałało, bo \(\displaystyle{ {\red{ \frac{ \dd \, \text{lokomotywa}}{ \dd x } }} \not= 1}\) w Twoim przypadku. Na koniec jeszcze dodam, że warto uczyć się całowania poprzez zauważanie, że pewne klasyczne wzory zachodzą ale w ogólniejszym sensie. Mam na myśli takie sytuacje:

\(\displaystyle{ \int \sin x \cos x \dd x = \int \sin x \, \dd \sin x = \int \clubsuit \dd x \clubsuit = \frac{\clubsuit^2}{2} }\)

\(\displaystyle{ \int \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\ln x} \dd x = \int \frac{1}{\ln x} \dd \ln x = \int \frac{1}{\clubsuit} \dd \clubsuit = \ln |\clubsuit| }\)
i wiele innych tego typu.
ODPOWIEDZ