Całka nieoznaczona

[Manteufel]

Czy może mi ktoś wyjaśnić, dlaczego licząc poniższą całkę, popełniam błąd?

\(\displaystyle{ \int \frac{1}{(x+1) \sqrt{x^2-1} }dx =\left|{ \substack{t = \frac{1}{x+1} \\ x+1= \frac{1}{t} \\x= \frac{1-t}{t}\\ dx=- \frac{1}{t^2}dt } }{} \right|=-\int \frac{\frac{1}{t^2}}{ \frac{1}{t} \sqrt{ \frac{(1-t)^2}{t^2}-1 } }dt=-\int \frac{ \sqrt{t^2} }{t \sqrt{1-2t} }dt= -\int \frac{ \left| t\right| }{t \sqrt{1-2t} }dt }\)

Dla \(\displaystyle{ t>0}\), czyli \(\displaystyle{ x>1}\) po uwzględnieniu dziedziny pierwiastka

\(\displaystyle{ ...=-\int \frac{t}{t \sqrt{1-2t} }dt=-\int \frac{dt}{\sqrt{1-2t} }=\sqrt{1-2t}= \frac{ \sqrt{x^{2}-1 } }{x+1} +C}\)

Dla \(\displaystyle{ t<0}\), czyli \(\displaystyle{ x<-1}\)

\(\displaystyle{ ...=-\frac{ \sqrt{x^{2}-1 } }{x+1} +C}\)

To rozwiązanie nie pokrywa się z rozwiązaniami, jak również z wynikiem z wolframu, wynik jest taki jak u mnie w przypadku \(\displaystyle{ t>0}\). Dlaczego?

[janusz47]

Wcześniej z podstawień:

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{1-2t}}{|t|}, \ \ 0< t < \frac{1}{2}. }\)

[a4karo]

Jak będziesz przekształcać poprawnie, to dostaniesz
Dla `t>0`
\(\displaystyle{ \int...=\sqrt{1-2t}=\sqrt{1-\frac{2}{x+1}}=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}=\sqrt{\frac{x^2-1}{(x+1)^2}}=\frac{\sqrt{x^2-1}}{|x+1|}=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}}\)

Dla `t<0`
\(\displaystyle{ \int...=-\sqrt{1-2t}=-\sqrt{1-\frac{2}{x+1}}=-\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}=-\sqrt{\frac{x^2-1}{(x+1)^2}}=-\frac{\sqrt{x^2-1}}{|x+1|}=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x+1}}\)