Pole powierzchni powstałej w wyniku obrotu funkcji

[kt26420]

Obliczyć pole powierzchni powstałej w wyniku obrotu dookoła osi \(\displaystyle{ OY}\) wykresu funkcji \(\displaystyle{ y=\arctan{x}, \quad x\in[0,1]. }\).

Korzystam ze wzoru \(\displaystyle{ 2 \pi \cdot \int_{0}^{1}{\arctan(x) \cdot \sqrt{1+ (\arctan(x)')^2 } } = 2 \pi \cdot \int_{0}^{1}{\arctan(x) \cdot \sqrt{1+ \left( \frac{1}{1+x^2}\right )^2 } } }\), i wychodzi mi ta dziwna całka, ktorej wolfram nawet nie może policzyć, czy ja to jakoś źle liczę?

[Dasio11]

Jesteś pewien, że nie korzystasz ze wzoru dla obrotu wokół osi OX?

[kt26420]

Jesteś pewien, że nie korzystasz ze wzoru dla obrotu wokół osi OX?

A, tak, zamiast \(\displaystyle{ \arctan }\)ma tam być x, ale i tak to dużo nie zmienia

[janusz47]

\(\displaystyle{ |S| = 2\pi \int_{0}^{1} x \cdot \sqrt{1+(\frac{1}{1+x^2})^2}\ \ dx = 2\pi \int_{0}^{1} x \cdot \sqrt{\frac{(1+x^2)^2+1}{(1+x^2)^2}} dx= 2\pi\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^2}\sqrt{(1+x^2)^2 +1}\ \ dx }\)

Podstawienia:

\(\displaystyle{ 1+x^2 = t, \ \ 2xdx = dt, \ \ xdx = \frac{1}{2}dt }\)

\(\displaystyle{ = 2\pi\int_{1}^{2}\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{t^2+1}}{t} dt = \pi \int_{1}^{2}\frac{\sqrt{t^2+1}}{t} dt }\)

Stosujemy następne podstawienia:

\(\displaystyle{ t^2 +1 = u, }\)

albo

\(\displaystyle{ \sqrt{t^2 +1} = u. }\)

[a4karo]

Jesteś pewien, że nie korzystasz ze wzoru dla obrotu wokół osi OX?

A, tak, zamiast \(\displaystyle{ \arctan }\)ma tam być x, ale i tak to dużo nie zmienia

Oczywiście, że nie: gdy popatrzysz na wykres funkcji of strony osi `OY` to zobaczysz, że jest to wykres funkcji `x=\tan y`. Inne będą też granice całkowania (`y` się zmienia od ... do ...)

Dodano po 4 minutach 10 sekundach:

\(\displaystyle{ |S| = 2\pi \int_{0}^{1} x \cdot \sqrt{1+(\frac{1}{1+x^2})^2}\ \ dx = 2\pi \int_{0}^{1} x \cdot \sqrt{\frac{(1+x^2)^2+1}{(1+x^2)^2}} dx= 2\pi\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x^2}\sqrt{(1+x^2)^2 +1}\ \ dx }\)

Podstawienia:

\(\displaystyle{ 1+x^2 = t, \ \ 2xdx = dt, \ \ xdx = \frac{1}{2}dt }\)

\(\displaystyle{ = 2\pi\int_{1}^{2}\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{t^2+1}}{t} dt = \pi \int_{1}^{2}\frac{\sqrt{t^2+1}}{t} dt }\)

Stosujemy następne podstawienia:

\(\displaystyle{ t^2 +1 = u, }\)

albo

\(\displaystyle{ \sqrt{t^2 +1} = u. }\)

Januszu: pomyśl logicznie. Jeżeli autor napisał, że zamiast `\arctan` ma być funkcja identycznościowa (choć to błąd okropny), to przecież pod pierwiastkiem będzie coś zdecydowanie innego.

[Dasio11]

Możliwe że nie rozumiem o co chodzi w powyższym poście, ale: wzór

\(\displaystyle{ 2 \pi \int \limits_0^1 \arctan(x) \sqrt{1+\left(\frac{1}{1+x^2}\right)^2} \, \dd x}\)

opisuje pole powierzchni powstałej przez obrót wykresu funkcji \(\displaystyle{ \arctan(x)}\), \(\displaystyle{ x \in [0, 1]}\) wokół osi OX. Ponieważ obrót miał być wokół osi OY, poprawny jest wzór:

\(\displaystyle{ 2 \pi \int \limits_0^1 x \sqrt{1+\left(\frac{1}{1+x^2}\right)^2} \, \dd x}\)

lub równoważny mu

\(\displaystyle{ 2 \pi \int \limits_0^{\frac{\pi}{4}} \tan(y) \sqrt{1+ \left( \frac{1}{\cos^2(y)} \right)^2} \, \dd y}\).

W tym kontekście poprawka kt26420 i sposób liczenia janusza47 są chyba w porządku?

[a4karo]

OK Sorry