zbieżność całki
-
- Użytkownik
- Posty: 2530
- Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 248 razy
Re: zbieżność całki
\(\displaystyle{
\begin{align}
\int^\pi_0 \frac{xdx}{1+(n\pi)^6\sin^2 x} =&\ \int^{\pi/2}_0 \frac{xdx}{1+(n\pi)^6\sin^2 x}+\int^\pi_{\pi/2} \frac{xdx}{1+(n\pi)^6\sin^2 x}\\
\leq& \int^{\pi/2}_0 \frac{xdx}{1+4n^6\pi^4 x^2}+\int^\pi_{\pi/2} \frac{xdx}{1+(n\pi)^6(1-\frac{2}{\pi}(x-\frac{\pi}{2}))^2}\\
=&\ \frac{\tan^{-1}(n\pi)^3}{2\pi n^3} \leq \frac{1}{4n^3}.
\end{align}
}\)
Poczytaj sobie w książce Teiji Takagi o przykładzie zbieżnej całki z funkcji nieograniczonej.
\begin{align}
\int^\pi_0 \frac{xdx}{1+(n\pi)^6\sin^2 x} =&\ \int^{\pi/2}_0 \frac{xdx}{1+(n\pi)^6\sin^2 x}+\int^\pi_{\pi/2} \frac{xdx}{1+(n\pi)^6\sin^2 x}\\
\leq& \int^{\pi/2}_0 \frac{xdx}{1+4n^6\pi^4 x^2}+\int^\pi_{\pi/2} \frac{xdx}{1+(n\pi)^6(1-\frac{2}{\pi}(x-\frac{\pi}{2}))^2}\\
=&\ \frac{\tan^{-1}(n\pi)^3}{2\pi n^3} \leq \frac{1}{4n^3}.
\end{align}
}\)
Poczytaj sobie w książce Teiji Takagi o przykładzie zbieżnej całki z funkcji nieograniczonej.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: zbieżność całki
Do tego chyba książki nie trzeba: niech `A= \bigcup_{n=1}^{\infty} [n,n+1/n^3]`. Funkcja `f(x)=\lfloor x\rfloor \chi_A(x)` jest nieograniczona, bo `f(n)=n`, a \(\displaystyle{ \int_1^{\infty} f(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty} 1/n^2=\pi^2/6}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: zbieżność całki
Kod: Zaznacz cały
math.stackexchange.com/questions/2788223/about-an-interesting-improper-integral-int-0-infty-fracx-dx1x6-sin
Prof. Teji Takaga nigdy nie wydał książki z Analizy Matematycznej.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: zbieżność całki
Zastąpienie prostokąta trójkątem o tej samej podstawie i dwukrotnie większej wysokości jest banalne.
Dodano po 48 minutach 38 sekundach:
A jak potrzebujesz `C^\infty` to wystarczy zamiast trójkąta wystarczy wziąć nieujemną funkcję `\varphi` klasy `C^\infty` o nośniku w `(0,1)` i
\(\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=1}^\infty \lfloor x\rfloor \varphi\left(n^3x-n^4\right)}\)
Wtedy
\(\displaystyle{ \int_0^\infty f(x)=\int_0^1 \varphi(t)dt\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2}}\)
@janusz47 Ten matematyk nie nazywał się Teji Takaga, lecz Teiji Takagi. Ciekawe na jakiej podstawie stwierdziłeś, że Takagi nie napisał takiej książki?
Dodano po 8 godzinach 51 minutach 35 sekundach:
Japońska wiki w artykule o profesorze Takagi podaje taką informację bibliograficzną
『解析概論』
初版(1938年)岩波書店
増訂版(1943年)岩波書店
改訂第3版 軽装版(1983年)岩波書店 ISBN 4-00-005171-7
czyli
"Introduction to analysis"
First edition (1938) Iwanami Shoten
Revised edition (1943) Iwanami Shoten
Revised 3rd Edition Light Edition (1983) Iwanami Shoten ISBN 4-00-005171-7
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: zbieżność całki
Biografia Profesora :
w języku japońskim
książka Mathematics-Number-Theory 1948,
w języku angielskim
jego zbiór artykułów :
Collected papers, Springer Collected Works in Mathematics (2 ed.)
Mathematics Genealogy Project
Founder of the Japanese School of Modern Mathematics.
w języku japońskim
książka Mathematics-Number-Theory 1948,
w języku angielskim
jego zbiór artykułów :
Collected papers, Springer Collected Works in Mathematics (2 ed.)
Mathematics Genealogy Project
Founder of the Japanese School of Modern Mathematics.