zbieżność całki

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
ann_u
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 138
Rejestracja: 14 wrz 2018, o 18:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Brak
Podziękował: 31 razy
Pomógł: 4 razy

zbieżność całki

Post autor: ann_u »

Zbadaj zbieżność całki \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } \frac{x}{1+x^6(\sin x)^2} }\).
bedbet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2530
Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 248 razy

Re: zbieżność całki

Post autor: bedbet »

\(\displaystyle{

\begin{align}
\int^\pi_0 \frac{xdx}{1+(n\pi)^6\sin^2 x} =&\ \int^{\pi/2}_0 \frac{xdx}{1+(n\pi)^6\sin^2 x}+\int^\pi_{\pi/2} \frac{xdx}{1+(n\pi)^6\sin^2 x}\\
\leq& \int^{\pi/2}_0 \frac{xdx}{1+4n^6\pi^4 x^2}+\int^\pi_{\pi/2} \frac{xdx}{1+(n\pi)^6(1-\frac{2}{\pi}(x-\frac{\pi}{2}))^2}\\
=&\ \frac{\tan^{-1}(n\pi)^3}{2\pi n^3} \leq \frac{1}{4n^3}.
\end{align}
}\)


Poczytaj sobie w książce Teiji Takagi o przykładzie zbieżnej całki z funkcji nieograniczonej.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: zbieżność całki

Post autor: janusz47 »

Mógłbyś podać tytuł tej książki ?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: zbieżność całki

Post autor: a4karo »

bedbet pisze: 27 maja 2022, o 19:32

Poczytaj sobie w książce Teiji Takagi o przykładzie zbieżnej całki z funkcji nieograniczonej.
Do tego chyba książki nie trzeba: niech `A= \bigcup_{n=1}^{\infty} [n,n+1/n^3]`. Funkcja `f(x)=\lfloor x\rfloor \chi_A(x)` jest nieograniczona, bo `f(n)=n`, a \(\displaystyle{ \int_1^{\infty} f(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty} 1/n^2=\pi^2/6}\)
bedbet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2530
Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 248 razy

Re: zbieżność całki

Post autor: bedbet »

Ja odnoszę się do przykładu autora postu. Zapomniałem również dodać, że chodzi o ciągłą funkcję podcałkową
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: zbieżność całki

Post autor: janusz47 »

Kod: Zaznacz cały

math.stackexchange.com/questions/2788223/about-an-interesting-improper-integral-int-0-infty-fracx-dx1x6-sin
Dodano po 1 minucie 43 sekundach:
Prof. Teji Takaga nigdy nie wydał książki z Analizy Matematycznej.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: zbieżność całki

Post autor: a4karo »

bedbet pisze: 28 maja 2022, o 09:37
Ja odnoszę się do przykładu autora postu. Zapomniałem również dodać, że chodzi o ciągłą funkcję podcałkową
Zastąpienie prostokąta trójkątem o tej samej podstawie i dwukrotnie większej wysokości jest banalne.

Dodano po 48 minutach 38 sekundach:
A jak potrzebujesz `C^\infty` to wystarczy zamiast trójkąta wystarczy wziąć nieujemną funkcję `\varphi` klasy `C^\infty` o nośniku w `(0,1)` i

\(\displaystyle{ f(x)=\sum_{n=1}^\infty \lfloor x\rfloor \varphi\left(n^3x-n^4\right)}\)

Wtedy

\(\displaystyle{ \int_0^\infty f(x)=\int_0^1 \varphi(t)dt\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n^2}}\)

@janusz47 Ten matematyk nie nazywał się Teji Takaga, lecz Teiji Takagi. Ciekawe na jakiej podstawie stwierdziłeś, że Takagi nie napisał takiej książki?

Dodano po 8 godzinach 51 minutach 35 sekundach:
janusz47 pisze: 28 maja 2022, o 09:48
Prof. Teji Takaga nigdy nie wydał książki z Analizy Matematycznej.
Japońska wiki w artykule o profesorze Takagi podaje taką informację bibliograficzną
『解析概論』
初版(1938年)岩波書店
増訂版(1943年)岩波書店
改訂第3版 軽装版(1983年)岩波書店 ISBN 4-00-005171-7

czyli

"Introduction to analysis"
First edition (1938) Iwanami Shoten
Revised edition (1943) Iwanami Shoten
Revised 3rd Edition Light Edition (1983) Iwanami Shoten ISBN 4-00-005171-7
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: zbieżność całki

Post autor: janusz47 »

Biografia Profesora :

w języku japońskim

książka Mathematics-Number-Theory 1948,

w języku angielskim

jego zbiór artykułów :

Collected papers, Springer Collected Works in Mathematics (2 ed.)

Mathematics Genealogy Project

Founder of the Japanese School of Modern Mathematics.
ODPOWIEDZ